Номер 266, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

266. Решите уравнение, используя график функции:

а) $x^3 = 8;$

б) $x^3 = -1;$

в) $x^3 = -27;$

г) $x^3 = 5;$

д) $x^3 = -7;$

е) $x^5 = 1;$

ж) $x^5 = 32;$

з) $x^5 = 2.$

Для решения уравнений вида $x^n = c$, где $n$ — нечетное натуральное число, используется графический метод. Решение такого уравнения — это абсцисса (координата $x$) точки пересечения графика функции $y = x^n$ и горизонтальной прямой $y = c$.

Функции $y = x^3$ и $y = x^5$ являются степенными функциями с нечетным показателем. Их графики — кубическая и квинтическая параболы соответственно. Обе функции являются строго возрастающими на всей числовой оси, поэтому любая горизонтальная прямая $y=c$ пересекает их графики ровно в одной точке. Это означает, что каждое из предложенных уравнений имеет единственный действительный корень.

а) Чтобы решить уравнение $x^3 = 8$ графически, нужно найти абсциссу точки пересечения графиков функций $y = x^3$ и $y = 8$. График функции $y = x^3$ — кубическая парабола, а график $y = 8$ — прямая, параллельная оси Ox. Эти графики пересекаются в одной точке, для которой $x^3=8$. Корень кубический из 8 равен 2, так как $2^3 = 8$. Таким образом, абсцисса точки пересечения равна 2.

Ответ: $x = 2$.

б) Решение уравнения $x^3 = -1$ — это абсцисса точки пересечения графиков $y = x^3$ и $y = -1$. График $y = -1$ — это горизонтальная прямая. Она пересекает график $y = x^3$ в одной точке. Поскольку $(-1)^3 = -1$, абсцисса этой точки равна -1.

Ответ: $x = -1$.

в) Решение уравнения $x^3 = -27$ находится как абсцисса точки пересечения графика функции $y = x^3$ и прямой $y = -27$. Эти графики имеют одну точку пересечения. Нам нужно найти число, куб которого равен -27. Это число -3, так как $(-3)^3 = -27$.

Ответ: $x = -3$.

г) Чтобы решить уравнение $x^3 = 5$ графически, мы ищем абсциссу точки пересечения графиков $y = x^3$ и $y = 5$. Функция $y=x^3$ является возрастающей на всей числовой оси, поэтому прямая $y=5$ пересекает ее график ровно в одной точке. Абсцисса этой точки является точным решением уравнения и по определению равна кубическому корню из 5.

Ответ: $x = \sqrt[3]{5}$.

д) Решение уравнения $x^3 = -7$ — это абсцисса точки пересечения графика функции $y = x^3$ и горизонтальной прямой $y = -7$. Так как функция $y=x^3$ определена и возрастает для всех действительных чисел, такая точка пересечения единственна. Её абсцисса равна кубическому корню из -7.

Ответ: $x = \sqrt[3]{-7}$.

е) Для решения уравнения $x^5 = 1$ рассмотрим пересечение графиков функций $y = x^5$ и $y = 1$. График $y=x^5$ — степенная функция с нечетным показателем, а $y=1$ — горизонтальная прямая. Они пересекаются в одной точке. Нужно найти число, пятая степень которого равна 1. Это число 1, так как $1^5 = 1$.

Ответ: $x = 1$.

ж) Решение уравнения $x^5 = 32$ — это абсцисса точки пересечения графиков $y = x^5$ и $y = 32$. Прямая $y=32$ пересекает график $y=x^5$ в единственной точке. Мы ищем число, которое в пятой степени дает 32. Таким числом является 2, так как $2^5 = 32$.

Ответ: $x = 2$.

з) Графически решение уравнения $x^5 = 2$ — это абсцисса точки пересечения графика функции $y = x^5$ и прямой $y = 2$. Функция $y=x^5$ строго возрастает, поэтому пересечение с любой горизонтальной прямой единственно. Абсцисса точки пересечения по определению равна корню пятой степени из 2.

Ответ: $x = \sqrt[5]{2}$.