Номер 264, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

264. a) $\sqrt[3]{1000}$;

б) $\sqrt[5]{10000000000}$;

в) $\sqrt[5]{3200000}$;

г) $\sqrt[3]{-343000000}$.

а)

Чтобы найти корень третьей степени из 1000, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень (в куб) даст 1000. Мы знаем, что $10 \times 10 \times 10 = 1000$, или $10^3 = 1000$. Следовательно, корень третьей степени из 1000 равен 10. Математически это записывается так: $\sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10$

Ответ: 10

б)

Требуется найти корень пятой степени из 10 000 000 000. Представим число 10 000 000 000 в виде степени. В этом числе 10 нулей, поэтому его можно записать как $10^{10}$. Теперь выражение выглядит так: $\sqrt[5]{10000000000} = \sqrt[5]{10^{10}}$ Используя свойство корней $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$, мы можем упростить выражение: $\sqrt[5]{10^{10}} = 10^{10/5} = 10^2 = 100$

Ответ: 100

в)

Необходимо найти корень пятой степени из 3 200 000. Для упрощения вычислений представим подкоренное выражение как произведение двух чисел, из которых легче извлечь корень: $3200000 = 32 \times 100000$ Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$: $\sqrt[5]{3200000} = \sqrt[5]{32 \times 100000} = \sqrt[5]{32} \times \sqrt[5]{100000}$ Вычислим каждый множитель отдельно: Поскольку $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$. Поскольку $10^5 = 100000$, то $\sqrt[5]{100000} = 10$. Перемножим полученные значения: $2 \times 10 = 20$

Ответ: 20

г)

Найдем корень третьей степени из -343 000 000. Корень нечетной степени (в данном случае, третьей) из отрицательного числа является отрицательным числом. Мы можем вынести знак минус за пределы корня: $\sqrt[3]{-343000000} = -\sqrt[3]{343000000}$ Представим число 343 000 000 в виде произведения: $343000000 = 343 \times 1000000$ Применим свойство корня из произведения: $-\sqrt[3]{343000000} = -\sqrt[3]{343 \times 1000000} = -(\sqrt[3]{343} \times \sqrt[3]{1000000})$ Теперь вычислим каждый корень по отдельности: Так как $7^3 = 343$, то $\sqrt[3]{343} = 7$. Число 1 000 000 можно записать как $10^6$ или $100^3$. Следовательно, $\sqrt[3]{1000000} = \sqrt[3]{100^3} = 100$. Перемножим результаты и учтем знак минус: $-(7 \times 100) = -700$

Ответ: -700