Номер 265, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

265. a) $\sqrt[3]{\frac{8}{27}};$

б) $\sqrt[3]{\frac{125}{216}};$

в) $\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}};$

г) $\sqrt[3]{-5\frac{23}{64}}.$

а) Для вычисления корня из дроби воспользуемся свойством $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$

Так как $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{8} = 2$ и $\sqrt[3]{27} = 3$.

Следовательно, $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) Аналогично пункту а), применим свойство корня из дроби:

$\sqrt[3]{\frac{125}{216}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{216}}$

Находим кубические корни из числителя и знаменателя. Мы знаем, что $5^3 = 125$ и $6^3 = 216$.

Таким образом, $\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{216}} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$.

в) Сначала преобразуем смешанное число под корнем в неправильную дробь:

$-3\frac{3}{8} = -\frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = -\frac{24+3}{8} = -\frac{27}{8}$

Теперь вычислим корень:

$\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}} = \sqrt[3]{-\frac{27}{8}}$

Используем свойство $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$ и свойство корня из дроби:

$\sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = -\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = -\frac{3}{2}$

Можно представить ответ в виде смешанного числа: $-\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$.

г) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$-5\frac{23}{64} = -\frac{5 \cdot 64 + 23}{64} = -\frac{320 + 23}{64} = -\frac{343}{64}$

Далее вычисляем кубический корень из полученной дроби:

$\sqrt[3]{-5\frac{23}{64}} = \sqrt[3]{-\frac{343}{64}}$

Вынесем знак минус из-под корня и применим свойство корня из дроби:

$\sqrt[3]{-\frac{343}{64}} = -\sqrt[3]{\frac{343}{64}} = -\frac{\sqrt[3]{343}}{\sqrt[3]{64}}$

Так как $7^3 = 343$ и $4^3 = 64$, получаем:

$-\frac{7}{4}$

Можно представить ответ в виде смешанного числа: $-\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{7}{4}$.