Номер 267, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

267. Покажите, используя график функции $y = x^4$, что:

а) существуют два действительных корня четвёртой степени из числа 3;

б) существует единственный действительный корень четвёртой степени из числа 0;

в) не существует действительных корней четвёртой степени из числа -1.

Для решения задачи воспользуемся графическим методом. Действительные корни $n$-ой степени из числа $a$ — это действительные решения уравнения $x^n = a$. Графически, это абсциссы точек пересечения графика функции $y = x^n$ и горизонтальной прямой $y = a$. В нашем случае мы рассматриваем функцию $y = x^4$ и ищем корни четвертой степени.

График функции $y = x^4$ представляет собой кривую, похожую на параболу, симметричную относительно оси ординат ($Oy$), поскольку $(-x)^4 = x^4$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$. Так как показатель степени четный, все значения функции неотрицательны, то есть $y \ge 0$ для любого действительного $x$.

а) существуют два действительных корня четвёртой степени из числа 3;

Поиск действительных корней четвертой степени из числа 3 эквивалентен нахождению решений уравнения $x^4 = 3$. Графически это означает поиск точек пересечения графика функции $y = x^4$ и прямой $y = 3$.

Прямая $y = 3$ — это горизонтальная линия, проходящая через точку $(0, 3)$ на оси $Oy$, то есть она находится выше оси абсцисс. Поскольку ветви графика $y = x^4$ уходят вверх до бесконечности, эта прямая обязательно пересечет их. В силу симметрии графика $y = x^4$ относительно оси $Oy$, если есть точка пересечения с положительной абсциссой $x_1 = \sqrt[4]{3}$, то обязательно будет и симметричная ей точка пересечения с отрицательной абсциссой $x_2 = -\sqrt[4]{3}$. Таким образом, мы имеем две точки пересечения.

Ответ: Прямая $y=3$ пересекает график функции $y=x^4$ в двух точках, следовательно, существует два действительных корня четвертой степени из числа 3.

б) существует единственный действительный корень четвёртой степени из числа 0;

Поиск действительных корней четвертой степени из числа 0 эквивалентен нахождению решений уравнения $x^4 = 0$. Графически это означает поиск точек пересечения графика функции $y = x^4$ и прямой $y = 0$ (оси абсцисс).

График функции $y = x^4$ имеет только одну общую точку с осью $Ox$ — это точка $(0, 0)$, где находится вершина кривой. В этой точке график касается оси абсцисс. Уравнение $x^4 = 0$ имеет только одно решение: $x = 0$.

Ответ: Прямая $y=0$ (ось абсцисс) имеет с графиком функции $y=x^4$ ровно одну общую точку $(0, 0)$, следовательно, существует единственный действительный корень четвертой степени из числа 0, и этот корень равен нулю.

в) не существует действительных корней четвёртой степени из числа –1.

Поиск действительных корней четвертой степени из числа –1 эквивалентен нахождению решений уравнения $x^4 = -1$. Графически это означает поиск точек пересечения графика функции $y = x^4$ и прямой $y = -1$.

Прямая $y = -1$ — это горизонтальная линия, расположенная ниже оси абсцисс. Как уже отмечалось, для любого действительного числа $x$ значение функции $y=x^4$ является неотрицательным ($y \ge 0$). Это означает, что весь график функции $y=x^4$ лежит на оси $Ox$ или выше неё. Прямая $y = -1$ целиком лежит ниже оси $Ox$. Следовательно, эти два графика не имеют ни одной общей точки.

Ответ: Прямая $y=-1$ не пересекает график функции $y=x^4$, следовательно, уравнение $x^4=-1$ не имеет действительных решений, а значит, не существует действительных корней четвертой степени из числа –1.