Номер 271, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

271. Имеет ли смысл выражение:

а) $\sqrt[8]{35-6^2}$;

б) $\sqrt[6]{27-5^2}$;

в) $\sqrt{(-2)^3}$;

г) $\sqrt[4]{(-8)^6}$?

а) Чтобы определить, имеет ли смысл выражение $\sqrt[8]{35-6^2}$, нужно проверить знак подкоренного выражения. Арифметический корень четной степени (в данном случае степень корня равна 8) определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения.

Вычислим значение выражения под корнем: $35 - 6^2 = 35 - 36 = -1$.

Поскольку подкоренное выражение отрицательно ($-1 < 0$), а степень корня четная (8), данное выражение не имеет смысла в области действительных чисел.

Ответ: не имеет смысла.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{27-5^2}$. Степень корня равна 6, что является четным числом. Следовательно, выражение имеет смысл только в том случае, если подкоренное выражение неотрицательно ($ \ge 0 $).

Вычислим значение подкоренного выражения: $27 - 5^2 = 27 - 25 = 2$.

Подкоренное выражение равно 2, что является положительным числом ($2 > 0$). Таким образом, корень четной степени из положительного числа определен.

Ответ: имеет смысл.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{(-2)^3}$. Если у знака корня не указан показатель, это означает квадратный корень, то есть корень 2-й степени. Степень корня 2 — четное число, поэтому выражение имеет смысл только для неотрицательных подкоренных выражений.

Вычислим значение подкоренного выражения: $(-2)^3 = -8$.

Подкоренное выражение равно -8, что является отрицательным числом ($-8 < 0$). В множестве действительных чисел корень четной степени из отрицательного числа не определен.

Ответ: не имеет смысла.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{(-8)^6}$. Степень корня равна 4, это четное число. Следовательно, выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно.

Определим знак подкоренного выражения: $(-8)^6$. Возведение любого отрицательного числа в четную степень (в данном случае в 6-ю) дает в результате положительное число.

Так как $(-8)^6 = 8^6 > 0$, подкоренное выражение положительно. Это означает, что извлечение корня четвертой степени из данного числа является определенной операцией.

Ответ: имеет смысл.