Номер 270, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

270. Верно ли равенство:

а) $\sqrt[4]{16} = -2$;

б) $\sqrt[6]{1} = 1$;

в) $\sqrt[4]{-16} = -2$;

г) $\sqrt[4]{16} = 2?$;

а) $\sqrt[4]{16} = -2$

Данное равенство неверно. По определению, арифметическим корнем четной степени ($n=4$) из положительного числа ($16$) является неотрицательное число. В правой части равенства стоит отрицательное число ($-2$). Хотя $(-2)^4 = 16$, по соглашению знак $\sqrt[n]{\cdot}$ (при четном $n$) обозначает именно арифметический (неотрицательный) корень. Правильное значение: $\sqrt[4]{16} = 2$.

Ответ: неверно.

б) $\sqrt[6]{1} = 1$

Данное равенство верно. По определению, корень 6-й степени из 1 — это такое неотрицательное число, которое при возведении в 6-ю степень дает 1. Проверим: $1$ — неотрицательное число, и $1^6 = 1$. Условия выполнены.

Ответ: верно.

в) $\sqrt[4]{-16} = -2$

Данное равенство неверно. Выражение в левой части не определено в области действительных чисел. Корень четной степени ($n=4$) из отрицательного числа ($-16$) не существует, так как любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат. Не существует такого действительного числа $x$, что $x^4 = -16$.

Ответ: неверно.

г) $\sqrt[4]{16} = 2$

Данное равенство верно. Необходимо проверить, является ли число 2 арифметическим корнем 4-й степени из 16. Для этого должны выполняться два условия:
1. Число 2 должно быть неотрицательным. Это так: $2 \ge 0$.
2. Четвертая степень числа 2 должна быть равна 16. Это так: $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
Оба условия выполнены.

Ответ: верно.