Страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

256. Почему не существует корня чётной степени из отрицательного числа?

Этот вопрос связан с определением корня и свойствами возведения чисел в степень.

По определению, корнем n-ой степени из числа $a$ (обозначается как $\sqrt[n]{a}$) называется такое число $b$, которое при возведении в степень $n$ дает в результате число $a$. Это можно записать в виде равенства:

$b^n = a$

Теперь рассмотрим конкретный случай, когда степень корня $n$ является чётным числом (например, 2, 4, 6, и т.д.), а число под корнем $a$ — отрицательным ($a < 0$).

Пусть $n = 2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда мы ищем такое действительное число $b$, что:

$b^{2k} = a$, при этом $a < 0$.

Проанализируем, каким может быть результат возведения любого действительного числа $b$ в чётную степень $2k$:

• Если число $b$ положительное ($b > 0$), то произведение чётного количества положительных чисел всегда будет положительным. Например, $2^4 = 16 > 0$.
• Если число $b$ отрицательное ($b < 0$), то произведение чётного количества отрицательных чисел также всегда будет положительным. Например, $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 > 0$.
• Если число $b$ равно нулю ($b = 0$), то его возведение в любую натуральную степень даст ноль. Например, $0^4 = 0$.

Как мы видим, любое действительное число, возведённое в чётную степень, даёт в результате неотрицательное число (то есть положительное или ноль). Математически это записывается как $b^{2k} \ge 0$ для любого действительного $b$.

Возникает противоречие: с одной стороны, $b^{2k}$ должно быть равно отрицательному числу $a$, а с другой стороны, мы доказали, что $b^{2k}$ всегда неотрицательно. Неотрицательное число не может быть равно отрицательному.

Следовательно, в множестве действительных чисел не существует такого числа $b$, которое удовлетворяло бы уравнению $b^{2k} = a$, если $a < 0$.

Ответ: Корень чётной степени из отрицательного числа не существует в множестве действительных чисел, потому что любое действительное число (положительное, отрицательное или ноль) при возведении в чётную степень всегда даёт неотрицательный результат (больше или равный нулю), и он никак не может быть равен отрицательному числу.

257. Используя график функции $y = x^3$, покажите, что существует единственный кубический корень из числа:

а) 1;

б) 5;

в) 0;

г) -3.

Для того чтобы с помощью графика функции $y = x^3$ показать, что существует единственный кубический корень из некоторого числа $a$, необходимо понять, что нахождение кубического корня из $a$ — это то же самое, что и решение уравнения $x^3 = a$.

Графически, решения этого уравнения — это абсциссы (координаты $x$) точек пересечения двух графиков: графика функции $y = x^3$ (кубическая парабола) и графика функции $y = a$ (горизонтальная прямая).

Функция $y = x^3$ является непрерывной и строго возрастающей на всей своей области определения (от $-\infty$ до $+\infty$). Это означает, что для любого значения $y$ из области значений функции (которая также от $-\infty$ до $+\infty$) найдется ровно одно соответствующее значение $x$. Геометрически это означает, что любая горизонтальная прямая $y = a$ пересекает график функции $y = x^3$ ровно в одной точке. Это и доказывает, что для любого действительного числа существует единственный действительный кубический корень.

Рассмотрим конкретные случаи:

а) 1
Ищем кубический корень из 1, то есть решаем уравнение $x^3 = 1$. Для этого на координатной плоскости строим график $y = x^3$ и прямую $y = 1$. Эти два графика пересекаются в единственной точке, абсцисса которой равна 1. Таким образом, существует только один кубический корень из 1, и он равен 1.
Ответ: Прямая $y=1$ пересекает график функции $y=x^3$ в единственной точке $(1, 1)$, следовательно, существует единственный кубический корень из 1.

б) 5
Ищем кубический корень из 5, то есть решаем уравнение $x^3 = 5$. Проводим горизонтальную прямую $y = 5$. Эта прямая пересекает график функции $y = x^3$ в одной единственной точке, так как функция строго возрастает. Абсцисса этой точки $x = \sqrt[3]{5}$ и является единственным кубическим корнем из 5.
Ответ: Прямая $y=5$ пересекает график функции $y=x^3$ в единственной точке, следовательно, существует единственный кубический корень из 5.

в) 0
Ищем кубический корень из 0, то есть решаем уравнение $x^3 = 0$. Проводим горизонтальную прямую $y = 0$, которая совпадает с осью абсцисс (Ox). Эта прямая пересекает график функции $y = x^3$ в единственной точке — начале координат $(0, 0)$. Абсцисса этой точки $x=0$ и является единственным кубическим корнем из 0.
Ответ: Прямая $y=0$ пересекает график функции $y=x^3$ в единственной точке $(0, 0)$, следовательно, существует единственный кубический корень из 0.

г) -3
Ищем кубический корень из -3, то есть решаем уравнение $x^3 = -3$. Проводим горизонтальную прямую $y = -3$. Эта прямая, как и любая другая горизонтальная прямая, пересекает график строго возрастающей функции $y = x^3$ в одной единственной точке. Абсцисса этой точки $x = \sqrt[3]{-3}$ и является единственным кубическим корнем из -3.
Ответ: Прямая $y=-3$ пересекает график функции $y=x^3$ в единственной точке, следовательно, существует единственный кубический корень из -3.

258. Используя график функции $y = x^3$, найдите с точностью до единиц:

а) $\sqrt[3]{2}$;

б) $\sqrt[3]{7}$;

в) $\sqrt[3]{-3}$;

г) $\sqrt[3]{-5}$.

Чтобы найти значение кубического корня из числа $a$, то есть $\sqrt[3]{a}$, используя график функции $y=x^3$, нужно найти на оси ординат (оси $y$) точку со значением $a$. Затем из этой точки провести горизонтальную линию до пересечения с графиком функции. Абсцисса (координата по оси $x$) точки пересечения и будет искомым значением $\sqrt[3]{a}$. Мы будем находить это значение с точностью до единиц, то есть округлять до ближайшего целого числа.

а) Чтобы найти $\sqrt[3]{2}$, мы ищем на графике $y=x^3$ точку, у которой ордината $y=2$.
Мы знаем, что $1^3=1$ и $2^3=8$.
Поскольку $1 < 2 < 8$, то $1 < \sqrt[3]{2} < 2$.
Чтобы определить, к какому целому числу ближе $\sqrt[3]{2}$, сравним его с $1.5$.
$1.5^3 = 3.375$.
Так как $2 < 3.375$, то $\sqrt[3]{2} < 1.5$. Следовательно, значение $\sqrt[3]{2}$ находится на отрезке $(1; 1.5)$ и ближе к 1.
Округляя до ближайшего целого, получаем 1.
Ответ: $1$.

б) Чтобы найти $\sqrt[3]{7}$, мы ищем на графике $y=x^3$ точку, у которой ордината $y=7$.
Мы знаем, что $1^3=1$ и $2^3=8$.
Поскольку $1 < 7 < 8$, то $1 < \sqrt[3]{7} < 2$.
Значение 7 намного ближе к 8, чем к 1, поэтому $\sqrt[3]{7}$ будет ближе к 2.
Проверим, сравнив с $1.5$.
$1.5^3 = 3.375$.
Так как $7 > 3.375$, то $\sqrt[3]{7} > 1.5$. Следовательно, значение $\sqrt[3]{7}$ находится на отрезке $(1.5; 2)$ и ближе к 2.
Округляя до ближайшего целого, получаем 2.
Ответ: $2$.

в) Чтобы найти $\sqrt[3]{-3}$, мы ищем на графике $y=x^3$ точку, у которой ордината $y=-3$.
Мы знаем, что $(-1)^3=-1$ и $(-2)^3=-8$.
Поскольку $-8 < -3 < -1$, то $-2 < \sqrt[3]{-3} < -1$.
Чтобы определить, к какому целому числу ближе $\sqrt[3]{-3}$, сравним его с $-1.5$.
$(-1.5)^3 = -3.375$.
Так как $-3 > -3.375$, то $\sqrt[3]{-3} > -1.5$. Следовательно, значение $\sqrt[3]{-3}$ находится на отрезке $(-1.5; -1)$ и ближе к -1.
Округляя до ближайшего целого, получаем -1.
Ответ: $-1$.

г) Чтобы найти $\sqrt[3]{-5}$, мы ищем на графике $y=x^3$ точку, у которой ордината $y=-5$.
Мы знаем, что $(-1)^3=-1$ и $(-2)^3=-8$.
Поскольку $-8 < -5 < -1$, то $-2 < \sqrt[3]{-5} < -1$.
Чтобы определить, к какому целому числу ближе $\sqrt[3]{-5}$, сравним его с $-1.5$.
$(-1.5)^3 = -3.375$.
Так как $-5 < -3.375$, то $\sqrt[3]{-5} < -1.5$. Следовательно, значение $\sqrt[3]{-5}$ находится на отрезке $(-2; -1.5)$ и ближе к -2.
Округляя до ближайшего целого, получаем -2.
Ответ: $-2$.

259. Прочтите выражение:

а) $\sqrt[3]{5}$;

б) $-\sqrt[7]{-2}$;

в) $\sqrt[12]{7}$;

г) $-\sqrt[5]{-7}$.

а) Выражение $\sqrt[3]{5}$ читается как «корень третьей степени из пяти». Поскольку корень третьей степени также называют кубическим, это выражение можно прочитать и как «кубический корень из пяти».
Ответ: Корень третьей степени из пяти.

б) Выражение $-\sqrt[7]{-2}$ читается как «минус корень седьмой степени из минус двух». Знак «минус» перед корнем указывает на то, что всё выражение является отрицательным числом.
Ответ: Минус корень седьмой степени из минус двух.

в) Выражение $\sqrt[12]{7}$ читается как «корень двенадцатой степени из семи». В данном выражении 12 — это показатель корня, а 7 — это подкоренное число.
Ответ: Корень двенадцатой степени из семи.

г) Выражение $-\sqrt[5]{-7}$ читается как «минус корень пятой степени из минус семи». Знак «минус» перед корнем читается в первую очередь, а затем само выражение корня.
Ответ: Минус корень пятой степени из минус семи.

260. Имеет ли смысл запись:

а) $ \sqrt[3]{5}; $

б) $ \sqrt[3]{-5}; $

в) $ \sqrt[4]{5}; $

г) $ \sqrt[4]{-5}; $

д) $ \sqrt[8]{0}; $

е) $ \sqrt[8]{-0,1}? $

Для определения, имеет ли смысл запись $\sqrt[n]{a}$ в области действительных чисел, необходимо проанализировать показатель корня $n$ и подкоренное выражение $a$.

• Если показатель корня $n$ — нечетное натуральное число, то корень $\sqrt[n]{a}$ определен для любого действительного числа $a$.
• Если показатель корня $n$ — четное натуральное число, то корень $\sqrt[n]{a}$ определен только для неотрицательных действительных чисел $a$ (то есть, $a \ge 0$).

а) $\sqrt[3]{5}$

Показатель корня $n=3$ является нечетным числом. Подкоренное выражение $a=5$ — положительное число. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, поэтому данная запись имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

б) $\sqrt[3]{-5}$

Показатель корня $n=3$ является нечетным числом. Подкоренное выражение $a=-5$ — отрицательное число. Так как корень нечетной степени определен для любого действительного числа, включая отрицательные, данная запись имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

в) $\sqrt[4]{5}$

Показатель корня $n=4$ является четным числом. Подкоренное выражение $a=5$ — положительное число. Корень четной степени определен для неотрицательных чисел. Так как $5 > 0$, данная запись имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

г) $\sqrt[4]{-5}$

Показатель корня $n=4$ является четным числом. Подкоренное выражение $a=-5$ — отрицательное число. Корень четной степени из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел. Следовательно, данная запись не имеет смысла.

Ответ: нет, не имеет смысла.

д) $\sqrt[8]{0}$

Показатель корня $n=8$ является четным числом. Подкоренное выражение $a=0$. Корень четной степени определен для неотрицательных чисел. Так как $0 \ge 0$, данная запись имеет смысл (и ее значение равно 0).

Ответ: да, имеет смысл.

е) $\sqrt[8]{-0,1}$

Показатель корня $n=8$ является четным числом. Подкоренное выражение $a=-0,1$ — отрицательное число. Корень четной степени из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел. Таким образом, данная запись не имеет смысла.

Ответ: нет, не имеет смысла.

261. Верно ли равенство:

а) $\sqrt[3]{-27} = -3$;

б) $\sqrt[4]{-6} = -2$;

в) $\sqrt[3]{64} = -4$;

г) $\sqrt[4]{625} = -5?$

а) Чтобы проверить верность равенства $\sqrt[3]{-27} = -3$, необходимо возвести правую часть равенства в степень, равную показателю корня, то есть в третью степень. Корень нечетной степени из отрицательного числа существует и является отрицательным числом.
Выполним проверку: $(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = 9 \times (-3) = -27$.
Так как результат возведения в степень $(-3)^3$ равен подкоренному выражению $-27$, равенство является верным.
Ответ: Верно.

б) Равенство $\sqrt[4]{-16} = -2$ является неверным. В области действительных чисел корень четной степени (в данном случае, четвертой) определен только для неотрицательных чисел. Подкоренное выражение $-16$ является отрицательным, поэтому $\sqrt[4]{-16}$ не определен в множестве действительных чисел.
Кроме того, если бы мы возвели $-2$ в четвертую степень, мы бы получили: $(-2)^4 = 16$, что не равно $-16$.
Ответ: Неверно.

в) Чтобы проверить верность равенства $\sqrt[3]{64} = -4$, возведем правую часть равенства в третью степень.
Выполним проверку: $(-4)^3 = (-4) \times (-4) \times (-4) = 16 \times (-4) = -64$.
Результат $(-64)$ не совпадает с подкоренным выражением $(64)$.
Правильное значение корня: $\sqrt[3]{64} = 4$, потому что $4^3 = 64$.
Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: Неверно.

г) Равенство $\sqrt[4]{625} = -5$ является неверным. По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае, четвертой) из неотрицательного числа есть неотрицательное число. Правая часть равенства $(-5)$ является отрицательным числом, что противоречит определению арифметического корня.
Хотя $(-5)^4 = 625$, запись $\sqrt[4]{625}$ по соглашению обозначает главный, то есть неотрицательный корень.
Правильное значение: $\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$ и $5 \geq 0$.
Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: Неверно.

262. Найдите значение выражения:

а) $(\sqrt[5]{2})^5$;

б) $(\sqrt[7]{12})^7$;

в) $(\sqrt[3]{-8})^3$;

г) $(\sqrt[11]{-3})^{11}$.

а) Для того чтобы найти значение выражения $(\sqrt[5]{2})^5$, необходимо использовать основное свойство корня n-ой степени. По определению, возведение в n-ую степень является обратной операцией к извлечению корня n-ой степени. Это выражается формулой $(\sqrt[n]{a})^n = a$, при условии, что выражение $\sqrt[n]{a}$ имеет смысл.

В данном случае показатель корня $n=5$ (нечетное число), а подкоренное выражение $a=2$. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа. Следовательно, мы можем применить указанную формулу.

$(\sqrt[5]{2})^5 = 2$.

Ответ: 2

б) Аналогично предыдущему пункту, для выражения $(\sqrt[7]{12})^7$ применяется то же свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

Здесь показатель корня $n=7$ (нечетное число) и подкоренное выражение $a=12$.

$(\sqrt[7]{12})^7 = 12$.

Ответ: 12

в) В выражении $(\sqrt[3]{-8})^3$ показатель корня $n=3$ является нечетным числом. Корень нечетной степени из отрицательного числа существует и является действительным числом. Поэтому свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$ также применимо.

В данном случае $n=3$ и $a=-8$.

$(\sqrt[3]{-8})^3 = -8$.

Можно также выполнить вычисления по шагам для проверки: сначала найдем значение корня $\sqrt[3]{-8} = -2$, так как $(-2)^3 = -8$. Затем возведем результат в куб: $(-2)^3 = -8$.

Ответ: -8

г) Для выражения $(\sqrt[11]{-3})^{11}$ показатель корня $n=11$ является нечетным числом. Как и в предыдущем примере, корень нечетной степени из отрицательного числа определен.

Применяя свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$ для $n=11$ и $a=-3$, получаем:

$(\sqrt[11]{-3})^{11} = -3$.

Ответ: -3

Вычислите (263—265):

263. а) $\sqrt[3]{2^3};$

б) $\sqrt[3]{5^3};$

в) $\sqrt[3]{(-4)^3};$

г) $\sqrt[3]{(-0,5)^3};$

д) $\sqrt[5]{8 \cdot 4};$

е) $\sqrt[7]{81 \cdot 27};$

ж) $\sqrt[3]{-3,6 \cdot 0,06};$

з) $\sqrt[3]{-5 \cdot 25}. $

а) Для вычисления выражения $\sqrt[3]{2^3}$ используется свойство корня нечетной степени: для любого нечетного $n$ и любого числа $a$ справедливо равенство $\sqrt[n]{a^n} = a$. В данном случае показатель корня $n=3$ является нечетным, а основание степени $a=2$. Таким образом, $\sqrt[3]{2^3} = 2$.
Ответ: 2

б) Аналогично предыдущему примеру, мы извлекаем корень 3-й степени (нечетной) из числа в 3-й степени. Применяя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ для нечетного $n$, получаем: $\sqrt[3]{5^3} = 5$.
Ответ: 5

в) Свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ для нечетного $n$ справедливо и для отрицательных значений $a$. В этом выражении $n=3$ и $a=-4$. Следовательно, $\sqrt[3]{(-4)^3} = -4$.
Ответ: -4

г) В данном случае $n=3$ (нечетное) и $a=-0,5$. Используя то же свойство корня нечетной степени, получаем: $\sqrt[3]{(-0,5)^3} = -0,5$.
Ответ: -0,5

д) Для вычисления $\sqrt[5]{8 \cdot 4}$ сначала упростим подкоренное выражение. Можно выполнить умножение: $8 \cdot 4 = 32$. Тогда выражение примет вид $\sqrt[5]{32}$. Мы ищем число, которое при возведении в 5-ю степень дает 32. Таким числом является 2, так как $2^5 = 32$.
Другой способ — представить множители как степени двойки: $8=2^3$ и $4=2^2$. Тогда $\sqrt[5]{8 \cdot 4} = \sqrt[5]{2^3 \cdot 2^2} = \sqrt[5]{2^{3+2}} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.
Ответ: 2

е) Для вычисления $\sqrt[7]{81 \cdot 27}$ представим множители под корнем как степени тройки. $81 = 3^4$ и $27 = 3^3$. Тогда подкоренное выражение равно $81 \cdot 27 = 3^4 \cdot 3^3 = 3^{4+3} = 3^7$. Таким образом, $\sqrt[7]{81 \cdot 27} = \sqrt[7]{3^7} = 3$.
Ответ: 3

ж) Чтобы вычислить $\sqrt[3]{-3,6 \cdot 0,06}$, сначала найдем произведение под корнем: $-3,6 \cdot 0,06 = -0,216$. Получаем $\sqrt[3]{-0,216}$. Так как корень нечетной степени, знак минус можно вынести: $\sqrt[3]{-0,216} = -\sqrt[3]{0,216}$. Нам известно, что $6^3=216$, следовательно, $(0,6)^3 = 0,216$. Значит, $\sqrt[3]{0,216} = 0,6$. Итоговый результат: $-0,6$.
Ответ: -0,6

з) Вычислим произведение под знаком корня в выражении $\sqrt[3]{-5 \cdot 25}$. Получаем: $-5 \cdot 25 = -125$. Выражение принимает вид $\sqrt[3]{-125}$. Мы ищем число, куб которого равен -125. Таким числом является -5, так как $(-5)^3 = -125$.
Ответ: -5

264. a) $\sqrt[3]{1000}$;

б) $\sqrt[5]{10000000000}$;

в) $\sqrt[5]{3200000}$;

г) $\sqrt[3]{-343000000}$.

а)

Чтобы найти корень третьей степени из 1000, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень (в куб) даст 1000. Мы знаем, что $10 \times 10 \times 10 = 1000$, или $10^3 = 1000$. Следовательно, корень третьей степени из 1000 равен 10. Математически это записывается так: $\sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10$

Ответ: 10

б)

Требуется найти корень пятой степени из 10 000 000 000. Представим число 10 000 000 000 в виде степени. В этом числе 10 нулей, поэтому его можно записать как $10^{10}$. Теперь выражение выглядит так: $\sqrt[5]{10000000000} = \sqrt[5]{10^{10}}$ Используя свойство корней $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$, мы можем упростить выражение: $\sqrt[5]{10^{10}} = 10^{10/5} = 10^2 = 100$

Ответ: 100

в)

Необходимо найти корень пятой степени из 3 200 000. Для упрощения вычислений представим подкоренное выражение как произведение двух чисел, из которых легче извлечь корень: $3200000 = 32 \times 100000$ Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$: $\sqrt[5]{3200000} = \sqrt[5]{32 \times 100000} = \sqrt[5]{32} \times \sqrt[5]{100000}$ Вычислим каждый множитель отдельно: Поскольку $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$. Поскольку $10^5 = 100000$, то $\sqrt[5]{100000} = 10$. Перемножим полученные значения: $2 \times 10 = 20$

Ответ: 20

г)

Найдем корень третьей степени из -343 000 000. Корень нечетной степени (в данном случае, третьей) из отрицательного числа является отрицательным числом. Мы можем вынести знак минус за пределы корня: $\sqrt[3]{-343000000} = -\sqrt[3]{343000000}$ Представим число 343 000 000 в виде произведения: $343000000 = 343 \times 1000000$ Применим свойство корня из произведения: $-\sqrt[3]{343000000} = -\sqrt[3]{343 \times 1000000} = -(\sqrt[3]{343} \times \sqrt[3]{1000000})$ Теперь вычислим каждый корень по отдельности: Так как $7^3 = 343$, то $\sqrt[3]{343} = 7$. Число 1 000 000 можно записать как $10^6$ или $100^3$. Следовательно, $\sqrt[3]{1000000} = \sqrt[3]{100^3} = 100$. Перемножим результаты и учтем знак минус: $-(7 \times 100) = -700$

Ответ: -700

265. a) $\sqrt[3]{\frac{8}{27}};$

б) $\sqrt[3]{\frac{125}{216}};$

в) $\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}};$

г) $\sqrt[3]{-5\frac{23}{64}}.$

а) Для вычисления корня из дроби воспользуемся свойством $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$

Так как $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{8} = 2$ и $\sqrt[3]{27} = 3$.

Следовательно, $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) Аналогично пункту а), применим свойство корня из дроби:

$\sqrt[3]{\frac{125}{216}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{216}}$

Находим кубические корни из числителя и знаменателя. Мы знаем, что $5^3 = 125$ и $6^3 = 216$.

Таким образом, $\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{216}} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$.

в) Сначала преобразуем смешанное число под корнем в неправильную дробь:

$-3\frac{3}{8} = -\frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = -\frac{24+3}{8} = -\frac{27}{8}$

Теперь вычислим корень:

$\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}} = \sqrt[3]{-\frac{27}{8}}$

Используем свойство $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$ и свойство корня из дроби:

$\sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = -\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = -\frac{3}{2}$

Можно представить ответ в виде смешанного числа: $-\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$.

г) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$-5\frac{23}{64} = -\frac{5 \cdot 64 + 23}{64} = -\frac{320 + 23}{64} = -\frac{343}{64}$

Далее вычисляем кубический корень из полученной дроби:

$\sqrt[3]{-5\frac{23}{64}} = \sqrt[3]{-\frac{343}{64}}$

Вынесем знак минус из-под корня и применим свойство корня из дроби:

$\sqrt[3]{-\frac{343}{64}} = -\sqrt[3]{\frac{343}{64}} = -\frac{\sqrt[3]{343}}{\sqrt[3]{64}}$

Так как $7^3 = 343$ и $4^3 = 64$, получаем:

$-\frac{7}{4}$

Можно представить ответ в виде смешанного числа: $-\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{7}{4}$.

266. Решите уравнение, используя график функции:

а) $x^3 = 8;$

б) $x^3 = -1;$

в) $x^3 = -27;$

г) $x^3 = 5;$

д) $x^3 = -7;$

е) $x^5 = 1;$

ж) $x^5 = 32;$

з) $x^5 = 2.$

Для решения уравнений вида $x^n = c$, где $n$ — нечетное натуральное число, используется графический метод. Решение такого уравнения — это абсцисса (координата $x$) точки пересечения графика функции $y = x^n$ и горизонтальной прямой $y = c$.

Функции $y = x^3$ и $y = x^5$ являются степенными функциями с нечетным показателем. Их графики — кубическая и квинтическая параболы соответственно. Обе функции являются строго возрастающими на всей числовой оси, поэтому любая горизонтальная прямая $y=c$ пересекает их графики ровно в одной точке. Это означает, что каждое из предложенных уравнений имеет единственный действительный корень.

а) Чтобы решить уравнение $x^3 = 8$ графически, нужно найти абсциссу точки пересечения графиков функций $y = x^3$ и $y = 8$. График функции $y = x^3$ — кубическая парабола, а график $y = 8$ — прямая, параллельная оси Ox. Эти графики пересекаются в одной точке, для которой $x^3=8$. Корень кубический из 8 равен 2, так как $2^3 = 8$. Таким образом, абсцисса точки пересечения равна 2.

Ответ: $x = 2$.

б) Решение уравнения $x^3 = -1$ — это абсцисса точки пересечения графиков $y = x^3$ и $y = -1$. График $y = -1$ — это горизонтальная прямая. Она пересекает график $y = x^3$ в одной точке. Поскольку $(-1)^3 = -1$, абсцисса этой точки равна -1.

Ответ: $x = -1$.

в) Решение уравнения $x^3 = -27$ находится как абсцисса точки пересечения графика функции $y = x^3$ и прямой $y = -27$. Эти графики имеют одну точку пересечения. Нам нужно найти число, куб которого равен -27. Это число -3, так как $(-3)^3 = -27$.

Ответ: $x = -3$.

г) Чтобы решить уравнение $x^3 = 5$ графически, мы ищем абсциссу точки пересечения графиков $y = x^3$ и $y = 5$. Функция $y=x^3$ является возрастающей на всей числовой оси, поэтому прямая $y=5$ пересекает ее график ровно в одной точке. Абсцисса этой точки является точным решением уравнения и по определению равна кубическому корню из 5.

Ответ: $x = \sqrt[3]{5}$.

д) Решение уравнения $x^3 = -7$ — это абсцисса точки пересечения графика функции $y = x^3$ и горизонтальной прямой $y = -7$. Так как функция $y=x^3$ определена и возрастает для всех действительных чисел, такая точка пересечения единственна. Её абсцисса равна кубическому корню из -7.

Ответ: $x = \sqrt[3]{-7}$.

е) Для решения уравнения $x^5 = 1$ рассмотрим пересечение графиков функций $y = x^5$ и $y = 1$. График $y=x^5$ — степенная функция с нечетным показателем, а $y=1$ — горизонтальная прямая. Они пересекаются в одной точке. Нужно найти число, пятая степень которого равна 1. Это число 1, так как $1^5 = 1$.

Ответ: $x = 1$.

ж) Решение уравнения $x^5 = 32$ — это абсцисса точки пересечения графиков $y = x^5$ и $y = 32$. Прямая $y=32$ пересекает график $y=x^5$ в единственной точке. Мы ищем число, которое в пятой степени дает 32. Таким числом является 2, так как $2^5 = 32$.

Ответ: $x = 2$.

з) Графически решение уравнения $x^5 = 2$ — это абсцисса точки пересечения графика функции $y = x^5$ и прямой $y = 2$. Функция $y=x^5$ строго возрастает, поэтому пересечение с любой горизонтальной прямой единственно. Абсцисса точки пересечения по определению равна корню пятой степени из 2.

Ответ: $x = \sqrt[5]{2}$.

267. Покажите, используя график функции $y = x^4$, что:

а) существуют два действительных корня четвёртой степени из числа 3;

б) существует единственный действительный корень четвёртой степени из числа 0;

в) не существует действительных корней четвёртой степени из числа -1.

Для решения задачи воспользуемся графическим методом. Действительные корни $n$-ой степени из числа $a$ — это действительные решения уравнения $x^n = a$. Графически, это абсциссы точек пересечения графика функции $y = x^n$ и горизонтальной прямой $y = a$. В нашем случае мы рассматриваем функцию $y = x^4$ и ищем корни четвертой степени.

График функции $y = x^4$ представляет собой кривую, похожую на параболу, симметричную относительно оси ординат ($Oy$), поскольку $(-x)^4 = x^4$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$. Так как показатель степени четный, все значения функции неотрицательны, то есть $y \ge 0$ для любого действительного $x$.

а) существуют два действительных корня четвёртой степени из числа 3;

Поиск действительных корней четвертой степени из числа 3 эквивалентен нахождению решений уравнения $x^4 = 3$. Графически это означает поиск точек пересечения графика функции $y = x^4$ и прямой $y = 3$.

Прямая $y = 3$ — это горизонтальная линия, проходящая через точку $(0, 3)$ на оси $Oy$, то есть она находится выше оси абсцисс. Поскольку ветви графика $y = x^4$ уходят вверх до бесконечности, эта прямая обязательно пересечет их. В силу симметрии графика $y = x^4$ относительно оси $Oy$, если есть точка пересечения с положительной абсциссой $x_1 = \sqrt[4]{3}$, то обязательно будет и симметричная ей точка пересечения с отрицательной абсциссой $x_2 = -\sqrt[4]{3}$. Таким образом, мы имеем две точки пересечения.

Ответ: Прямая $y=3$ пересекает график функции $y=x^4$ в двух точках, следовательно, существует два действительных корня четвертой степени из числа 3.

б) существует единственный действительный корень четвёртой степени из числа 0;

Поиск действительных корней четвертой степени из числа 0 эквивалентен нахождению решений уравнения $x^4 = 0$. Графически это означает поиск точек пересечения графика функции $y = x^4$ и прямой $y = 0$ (оси абсцисс).

График функции $y = x^4$ имеет только одну общую точку с осью $Ox$ — это точка $(0, 0)$, где находится вершина кривой. В этой точке график касается оси абсцисс. Уравнение $x^4 = 0$ имеет только одно решение: $x = 0$.

Ответ: Прямая $y=0$ (ось абсцисс) имеет с графиком функции $y=x^4$ ровно одну общую точку $(0, 0)$, следовательно, существует единственный действительный корень четвертой степени из числа 0, и этот корень равен нулю.

в) не существует действительных корней четвёртой степени из числа –1.

Поиск действительных корней четвертой степени из числа –1 эквивалентен нахождению решений уравнения $x^4 = -1$. Графически это означает поиск точек пересечения графика функции $y = x^4$ и прямой $y = -1$.

Прямая $y = -1$ — это горизонтальная линия, расположенная ниже оси абсцисс. Как уже отмечалось, для любого действительного числа $x$ значение функции $y=x^4$ является неотрицательным ($y \ge 0$). Это означает, что весь график функции $y=x^4$ лежит на оси $Ox$ или выше неё. Прямая $y = -1$ целиком лежит ниже оси $Ox$. Следовательно, эти два графика не имеют ни одной общей точки.

Ответ: Прямая $y=-1$ не пересекает график функции $y=x^4$, следовательно, уравнение $x^4=-1$ не имеет действительных решений, а значит, не существует действительных корней четвертой степени из числа –1.

268. Докажите, что число:

а) 10 есть корень шестой степени из 1 000 000;

б) -2 есть корень четвёртой степени из 16;

в) 0,5 есть корень шестой степени из $\frac{1}{64}$;

г) $-\frac{1}{3}$ есть корень четвёртой степени из $\frac{1}{81}$.

а) Чтобы доказать, что число 10 является корнем шестой степени из 1 000 000, необходимо, согласно определению корня n-ой степени, показать, что при возведении числа 10 в шестую степень получится 1 000 000.

Проверим равенство: $10^6 = 1~000~000$.

Выполним вычисление:

$10^6 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1~000~000$.

Равенство выполняется, следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что число -2 является корнем четвертой степени из 16, необходимо показать, что $(-2)^4 = 16$.

Выполним возведение в степень. Так как показатель степени (4) является четным числом, результат будет положительным.

$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot 4 = 16$.

Равенство $(-2)^4 = 16$ выполняется, следовательно, -2 действительно является корнем четвертой степени из 16.

Ответ: Доказано.

в) Чтобы доказать, что число 0,5 является корнем шестой степени из $\frac{1}{64}$, необходимо проверить равенство $(0,5)^6 = \frac{1}{64}$.

Для удобства вычислений представим 0,5 в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$.

Теперь возведем эту дробь в шестую степень:

$(\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{64}$.

Равенство $(0,5)^6 = \frac{1}{64}$ выполняется, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

г) Чтобы доказать, что число $-\frac{1}{3}$ является корнем четвертой степени из $\frac{1}{81}$, необходимо проверить, выполняется ли равенство $(-\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$.

Выполним возведение в степень. Так как показатель степени (4) — четное число, результат будет положительным.

$(-\frac{1}{3})^4 = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{81}$.

Равенство $(-\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$ выполняется, следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.