Номер 257, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

257. Используя график функции $y = x^3$, покажите, что существует единственный кубический корень из числа:

а) 1;

б) 5;

в) 0;

г) -3.

Для того чтобы с помощью графика функции $y = x^3$ показать, что существует единственный кубический корень из некоторого числа $a$, необходимо понять, что нахождение кубического корня из $a$ — это то же самое, что и решение уравнения $x^3 = a$.

Графически, решения этого уравнения — это абсциссы (координаты $x$) точек пересечения двух графиков: графика функции $y = x^3$ (кубическая парабола) и графика функции $y = a$ (горизонтальная прямая).

Функция $y = x^3$ является непрерывной и строго возрастающей на всей своей области определения (от $-\infty$ до $+\infty$). Это означает, что для любого значения $y$ из области значений функции (которая также от $-\infty$ до $+\infty$) найдется ровно одно соответствующее значение $x$. Геометрически это означает, что любая горизонтальная прямая $y = a$ пересекает график функции $y = x^3$ ровно в одной точке. Это и доказывает, что для любого действительного числа существует единственный действительный кубический корень.

Рассмотрим конкретные случаи:

а) 1
Ищем кубический корень из 1, то есть решаем уравнение $x^3 = 1$. Для этого на координатной плоскости строим график $y = x^3$ и прямую $y = 1$. Эти два графика пересекаются в единственной точке, абсцисса которой равна 1. Таким образом, существует только один кубический корень из 1, и он равен 1.
Ответ: Прямая $y=1$ пересекает график функции $y=x^3$ в единственной точке $(1, 1)$, следовательно, существует единственный кубический корень из 1.

б) 5
Ищем кубический корень из 5, то есть решаем уравнение $x^3 = 5$. Проводим горизонтальную прямую $y = 5$. Эта прямая пересекает график функции $y = x^3$ в одной единственной точке, так как функция строго возрастает. Абсцисса этой точки $x = \sqrt[3]{5}$ и является единственным кубическим корнем из 5.
Ответ: Прямая $y=5$ пересекает график функции $y=x^3$ в единственной точке, следовательно, существует единственный кубический корень из 5.

в) 0
Ищем кубический корень из 0, то есть решаем уравнение $x^3 = 0$. Проводим горизонтальную прямую $y = 0$, которая совпадает с осью абсцисс (Ox). Эта прямая пересекает график функции $y = x^3$ в единственной точке — начале координат $(0, 0)$. Абсцисса этой точки $x=0$ и является единственным кубическим корнем из 0.
Ответ: Прямая $y=0$ пересекает график функции $y=x^3$ в единственной точке $(0, 0)$, следовательно, существует единственный кубический корень из 0.

г) -3
Ищем кубический корень из -3, то есть решаем уравнение $x^3 = -3$. Проводим горизонтальную прямую $y = -3$. Эта прямая, как и любая другая горизонтальная прямая, пересекает график строго возрастающей функции $y = x^3$ в одной единственной точке. Абсцисса этой точки $x = \sqrt[3]{-3}$ и является единственным кубическим корнем из -3.
Ответ: Прямая $y=-3$ пересекает график функции $y=x^3$ в единственной точке, следовательно, существует единственный кубический корень из -3.