Номер 254, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

254. Существует ли корень чётной степени:

а) из положительного числа;

б) из нуля;

в) из отрицательного числа?

а) Да, корень чётной степени из положительного числа существует. По определению, корень степени $n$ из числа $a$ — это такое число $x$, что $x^n=a$. Если степень $n$ является чётной (обозначим её $2k$, где $k$ — натуральное число), а число $a$ — положительным ($a > 0$), то уравнение $x^{2k}=a$ всегда имеет два решения в области действительных чисел. Одно решение положительное, а другое — отрицательное. Например, для уравнения $x^4=16$, решениями являются $x=2$ и $x=-2$. Положительный корень называется арифметическим. Таким образом, корень чётной степени из положительного числа существует.
Ответ: да, существует.

б) Да, корень чётной степени из нуля существует. Необходимо найти число $x$, такое что $x^{2k}=0$, где $2k$ — чётная степень. Единственное действительное число, которое при возведении в любую положительную степень даёт в результате ноль, — это само число ноль. Таким образом, $\sqrt[2k]{0}=0$.
Ответ: да, существует.

в) Нет, корень чётной степени из отрицательного числа в множестве действительных чисел не существует. Необходимо найти такое действительное число $x$, чтобы выполнялось равенство $x^{2k}=a$, где $a < 0$. Однако любое действительное число $x$ при возведении в чётную степень $2k$ даёт неотрицательный результат, то есть $x^{2k} \ge 0$. Это следует из того, что произведение чётного числа сомножителей, равных $x$, всегда будет положительным, если $x \ne 0$, и будет равно нулю, если $x=0$. Следовательно, не существует действительного числа, чётная степень которого была бы отрицательной.
Ответ: нет, не существует (в множестве действительных чисел).