Номер 249, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

249. a) Сколько существует корней нечётной степени из любого действительного числа?

б) Может ли корень нечётной степени из положительного числа быть числом отрицательным?

в) Будет ли корень нечётной степени из отрицательного числа числом отрицательным?

г) Чему равен корень нечётной степени из нуля?

а) Корень нечётной степени $n$ из действительного числа $a$ — это такое действительное число $x$, что $x^n=a$. Рассмотрим функцию $y=x^n$, где $n$ — нечётное натуральное число. Эта функция является строго возрастающей на всей числовой оси, и её область значений — все действительные числа (от $-\infty$ до $+\infty$). Это означает, что для любого действительного числа $a$ график функции $y=x^n$ пересекается с горизонтальной прямой $y=a$ ровно в одной точке. Следовательно, уравнение $x^n=a$ всегда имеет ровно один действительный корень. Этот корень и называют корнем нечётной степени из числа $a$.
Ответ: Существует ровно один корень нечётной степени из любого действительного числа.

б) Пусть $x = \sqrt[n]{a}$, где $n$ — нечётное число, а $a$ — положительное число ($a>0$). По определению, $x^n = a$. Предположим, что $x$ является отрицательным числом, то есть $x < 0$. При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат также будет отрицательным, то есть $x^n < 0$. Но по условию $x^n=a$ и $a>0$. Получаем противоречие: $x^n$ должно быть одновременно и положительным, и отрицательным. Следовательно, наше предположение неверно. Корень нечётной степени из положительного числа не может быть отрицательным числом, он всегда положителен.
Ответ: Нет, не может.

в) Пусть $x = \sqrt[n]{a}$, где $n$ — нечётное число, а $a$ — отрицательное число ($a<0$). По определению, $x^n = a$. Поскольку $a < 0$, нам нужно найти знак $x$. Если бы $x$ было положительным числом ($x>0$), то $x^n$ тоже было бы положительным. Если бы $x=0$, то $x^n=0$. Оба случая противоречат условию $x^n = a < 0$. Единственная оставшаяся возможность — $x$ является отрицательным числом ($x<0$). При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат действительно будет отрицательным, что соответствует условию. Таким образом, корень нечётной степени из отрицательного числа всегда является отрицательным числом.
Ответ: Да, будет.

г) Найдём значение корня нечётной степени $n$ из нуля, то есть $\sqrt[n]{0}$. Пусть $x = \sqrt[n]{0}$. По определению корня, это означает, что $x^n = 0$. Единственное действительное число, которое при возведении в любую натуральную степень даёт в результате ноль, — это само число ноль. Следовательно, $x=0$.
Ответ: Корень нечётной степени из нуля равен нулю.