Номер 244, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

244. Найдите кубический корень из числа:

а) 1000;

б) 64 000 000;

в) 125 000 000 000;

г) -0,001;

д) $3\frac{3}{8}$;

е) $-1\frac{61}{64}$.

Докажите правильность решения.

а) Найти кубический корень из 1000 — значит найти число, третья степень которого равна 1000. Таким числом является 10, так как $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$. Следовательно, $\sqrt[3]{1000} = 10$.
Доказательство: возведем найденный корень 10 в третью степень: $10^3 = 1000$. Полученное число равно исходному, значит, решение верное.
Ответ: 10

б) Для нахождения кубического корня из 64 000 000 представим это число как произведение: $64 \times 1 000 000$. Корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt[3]{64 000 000} = \sqrt[3]{64} \times \sqrt[3]{1 000 000}$. Так как $4^3=64$ и $100^3=1 000 000$, то $\sqrt[3]{64}=4$ и $\sqrt[3]{1 000 000}=100$. Результат: $4 \times 100 = 400$.
Доказательство: возведем 400 в третью степень: $400^3 = (4 \times 100)^3 = 4^3 \times 100^3 = 64 \times 1 000 000 = 64 000 000$. Решение верное.
Ответ: 400

в) Для нахождения кубического корня из 125 000 000 000 представим число в виде произведения: $125 \times 1 000 000 000$. Тогда $\sqrt[3]{125 000 000 000} = \sqrt[3]{125} \times \sqrt[3]{1 000 000 000}$. Так как $5^3=125$ и $1000^3=1 000 000 000$, то $\sqrt[3]{125}=5$ и $\sqrt[3]{1 000 000 000}=1000$. Результат: $5 \times 1000 = 5000$.
Доказательство: возведем 5000 в третью степень: $5000^3 = (5 \times 1000)^3 = 5^3 \times 1000^3 = 125 \times 1 000 000 000 = 125 000 000 000$. Решение верное.
Ответ: 5000

г) Кубический корень из отрицательного числа есть число отрицательное. Найдем корень из модуля числа: $\sqrt[3]{0,001}$. Представим 0,001 как $0,1^3$. Значит, $\sqrt[3]{0,001} = 0,1$. Следовательно, $\sqrt[3]{-0,001} = -0,1$.
Доказательство: возведем -0,1 в третью степень: $(-0,1)^3 = (-0,1) \times (-0,1) \times (-0,1) = 0,01 \times (-0,1) = -0,001$. Решение верное.
Ответ: -0,1

д) Сначала преобразуем смешанное число $3\frac{3}{8}$ в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \times 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$. Теперь извлечем кубический корень: $\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$. Так как $3^3=27$ и $2^3=8$, получаем $\frac{3}{2}$, что равно 1,5.
Доказательство: возведем $\frac{3}{2}$ в третью степень: $(\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$. Переведем обратно в смешанную дробь: $\frac{27}{8} = 3\frac{3}{8}$. Решение верное.
Ответ: 1,5

е) Преобразуем смешанное число $-1\frac{61}{64}$ в неправильную дробь: $-1\frac{61}{64} = -\frac{1 \times 64 + 61}{64} = -\frac{125}{64}$. Теперь извлечем кубический корень: $\sqrt[3]{-\frac{125}{64}} = -\sqrt[3]{\frac{125}{64}} = -\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}$. Так как $5^3=125$ и $4^3=64$, получаем $-\frac{5}{4}$, что равно -1,25.
Доказательство: возведем $-\frac{5}{4}$ в третью степень: $(-\frac{5}{4})^3 = -\frac{5^3}{4^3} = -\frac{125}{64}$. Переведем обратно в смешанную дробь: $-\frac{125}{64} = -1\frac{61}{64}$. Решение верное.
Ответ: -1,25