Номер 246, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

246. Существует ли корень шестой степени из данного числа, если существует, то единственный ли это корень:

а) 1;

б) 0;

в) -1;

г) 1,2;

д) $-1,8 \cdot 10^6$;

е) $7,2 \cdot 10^{-6}$?

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить определение и свойства корня четной степени. Корень n-ой степени из числа a — это такое число x, которое при возведении в степень n дает a, то есть $x^n = a$. В данном случае мы ищем корень шестой степени, то есть $n=6$. Так как степень корня 6 — это четное число, то действуют следующие правила для действительных корней:

• Если число $a > 0$, то существует два действительных корня: положительный $\sqrt[6]{a}$ (называемый арифметическим корнем) и отрицательный $-\sqrt[6]{a}$.
• Если число $a = 0$, то существует только один действительный корень, который равен нулю: $\sqrt[6]{0} = 0$.
• Если число $a < 0$, то действительных корней шестой степени не существует, так как любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) 1

Число 1 положительное ($1 > 0$). Следовательно, уравнение $x^6 = 1$ имеет два действительных корня. Это числа 1 и -1, так как $1^6 = 1$ и $(-1)^6 = 1$. Таким образом, корень шестой степени из 1 существует, и он не единственный.

Ответ: существует, не единственный (два корня: 1 и -1).

б) 0

Число 0 равно нулю. Уравнение $x^6 = 0$ имеет только один действительный корень: $x = 0$. Таким образом, корень шестой степени из 0 существует, и он единственный.

Ответ: существует, единственный (корень 0).

в) -1

Число -1 отрицательное ($-1 < 0$). Поскольку любое действительное число в шестой (четной) степени не может быть отрицательным, не существует такого действительного числа x, для которого $x^6 = -1$.

Ответ: не существует.

г) 1,2

Число 1,2 положительное ($1,2 > 0$). Следовательно, уравнение $x^6 = 1,2$ имеет два действительных корня: $\sqrt[6]{1,2}$ и $-\sqrt[6]{1,2}$. Корень шестой степени из 1,2 существует, но он не единственный.

Ответ: существует, не единственный (два корня).

д) -1,8 ⋅ 10⁶

Число $-1,8 \cdot 10^6$ является отрицательным, так как $10^6$ — положительное число, а $-1,8$ — отрицательное. Так как $-1,8 \cdot 10^6 < 0$, корень четной степени из этого числа в области действительных чисел не существует.

Ответ: не существует.

е) 7,2 ⋅ 10⁻⁶

Число $7,2 \cdot 10^{-6}$ является положительным, так как оба множителя $7,2$ и $10^{-6} = \frac{1}{10^6}$ положительны. Так как $7,2 \cdot 10^{-6} > 0$, уравнение $x^6 = 7,2 \cdot 10^{-6}$ имеет два действительных корня: $\sqrt[6]{7,2 \cdot 10^{-6}}$ и $-\sqrt[6]{7,2 \cdot 10^{-6}}$. Корень шестой степени из данного числа существует, но он не единственный.

Ответ: существует, не единственный (два корня).