Номер 251, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

251. Как обозначают положительный корень чётной степени из положительного числа? Приведите пример.

Как обозначают положительный корень чётной степени из положительного числа?

Положительный корень чётной степени $n$ из положительного (или неотрицательного) числа $a$ называется арифметическим корнем $n$-ой степени из числа $a$. Для его обозначения используется специальный символ — знак корня или радикал. Общий вид обозначения:

$ \sqrt[n]{a} $

В этом выражении $a$ — это подкоренное число ($a \ge 0$), а $n$ — показатель корня, который является чётным натуральным числом ($n = 2, 4, 6, \dots$). Если показатель корня равен 2 (квадратный корень), его обычно не пишут: $\sqrt{a}$.

По определению, результатом извлечения такого корня $\sqrt[n]{a}$ является неотрицательное число $b$, которое при возведении в степень $n$ даёт в результате число $a$. То есть, равенство $\sqrt[n]{a} = b$ означает, что выполняются два условия: $b \ge 0$ и $b^n = a$.

Ответ: Положительный корень чётной степени $n$ из положительного числа $a$ обозначают как $\sqrt[n]{a}$.

Приведите пример.

Рассмотрим положительный корень четвёртой степени из числа 81. В данном случае степень $n=4$ — чётная, а число под корнем $a=81$ — положительное. Обозначение для этого корня следующее:

$ \sqrt[4]{81} $

Чтобы найти его значение, необходимо найти такое неотрицательное число, которое при возведении в четвёртую степень будет равно 81. Этим числом является 3, так как $3 \ge 0$ и $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

Таким образом, $\sqrt[4]{81} = 3$.

Важно отметить, что уравнение $x^4 = 81$ имеет два действительных корня: $x=3$ и $x=-3$. Однако, символ арифметического корня $\sqrt[4]{81}$ по определению обозначает именно положительный корень.

Ответ: Примером является корень четвёртой степени из 81, который обозначается как $\sqrt[4]{81}$ и равен 3.