Номер 260, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

260. Имеет ли смысл запись:

а) $ \sqrt[3]{5}; $

б) $ \sqrt[3]{-5}; $

в) $ \sqrt[4]{5}; $

г) $ \sqrt[4]{-5}; $

д) $ \sqrt[8]{0}; $

е) $ \sqrt[8]{-0,1}? $

Для определения, имеет ли смысл запись $\sqrt[n]{a}$ в области действительных чисел, необходимо проанализировать показатель корня $n$ и подкоренное выражение $a$.

• Если показатель корня $n$ — нечетное натуральное число, то корень $\sqrt[n]{a}$ определен для любого действительного числа $a$.
• Если показатель корня $n$ — четное натуральное число, то корень $\sqrt[n]{a}$ определен только для неотрицательных действительных чисел $a$ (то есть, $a \ge 0$).

а) $\sqrt[3]{5}$

Показатель корня $n=3$ является нечетным числом. Подкоренное выражение $a=5$ — положительное число. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, поэтому данная запись имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

б) $\sqrt[3]{-5}$

Показатель корня $n=3$ является нечетным числом. Подкоренное выражение $a=-5$ — отрицательное число. Так как корень нечетной степени определен для любого действительного числа, включая отрицательные, данная запись имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

в) $\sqrt[4]{5}$

Показатель корня $n=4$ является четным числом. Подкоренное выражение $a=5$ — положительное число. Корень четной степени определен для неотрицательных чисел. Так как $5 > 0$, данная запись имеет смысл.

Ответ: да, имеет смысл.

г) $\sqrt[4]{-5}$

Показатель корня $n=4$ является четным числом. Подкоренное выражение $a=-5$ — отрицательное число. Корень четной степени из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел. Следовательно, данная запись не имеет смысла.

Ответ: нет, не имеет смысла.

д) $\sqrt[8]{0}$

Показатель корня $n=8$ является четным числом. Подкоренное выражение $a=0$. Корень четной степени определен для неотрицательных чисел. Так как $0 \ge 0$, данная запись имеет смысл (и ее значение равно 0).

Ответ: да, имеет смысл.

е) $\sqrt[8]{-0,1}$

Показатель корня $n=8$ является четным числом. Подкоренное выражение $a=-0,1$ — отрицательное число. Корень четной степени из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел. Таким образом, данная запись не имеет смысла.

Ответ: нет, не имеет смысла.