Номер 289, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

289. а) $\sqrt[4]{32}$;

б) $\sqrt[4]{243}$;

в) $\sqrt[4]{1296}$;

г) $\sqrt[4]{50625}$.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt[4]{32}$ необходимо вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное число 32 на множители так, чтобы один из них был точной четвертой степенью.

Представим число 32 в виде произведения $16$ и $2$:

$32 = 16 \cdot 2$

Число $16$ является четвертой степенью числа $2$, так как $2^4 = 16$.

Теперь подставим это разложение в исходное выражение и воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{16 \cdot 2} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{2}$

Так как $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$, получаем:

$2 \cdot \sqrt[4]{2} = 2\sqrt[4]{2}$

Ответ: $2\sqrt[4]{2}$.

б)

Для упрощения выражения $\sqrt[4]{243}$ вынесем множитель из-под знака корня. Разложим подкоренное число 243 на простые множители.

Представим 243 как произведение $81$ и $3$:

$243 = 81 \cdot 3$

Число $81$ является четвертой степенью числа $3$, так как $3^4 = 81$.

Подставим разложение в выражение и применим свойство корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[4]{243} = \sqrt[4]{81 \cdot 3} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{3}$

Так как $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$, получаем:

$3 \cdot \sqrt[4]{3} = 3\sqrt[4]{3}$

Ответ: $3\sqrt[4]{3}$.

в)

Чтобы найти значение выражения $\sqrt[4]{1296}$, необходимо найти число, четвертая степень которого равна 1296. Разложим число 1296 на простые множители.

$1296 = 2 \cdot 648 = 2 \cdot 2 \cdot 324 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 162 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 81 = 2^4 \cdot 81$

Мы знаем, что $81 = 3^4$. Таким образом, получаем:

$1296 = 2^4 \cdot 3^4$

Используя свойство степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, можем записать:

$1296 = (2 \cdot 3)^4 = 6^4$

Теперь извлечем корень четвертой степени:

$\sqrt[4]{1296} = \sqrt[4]{6^4} = 6$

Ответ: $6$.

г)

Чтобы найти значение выражения $\sqrt[4]{50625}$, найдем число, которое при возведении в четвертую степень дает 50625. Для этого разложим подкоренное число на простые множители.

Число заканчивается на 25, значит оно делится на $5^2=25$. Число также делится на 5.

$50625 = 5 \cdot 10125 = 5 \cdot 5 \cdot 2025 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 405 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 81 = 5^4 \cdot 81$

Мы знаем, что $81 = 3^4$. Таким образом, получаем:

$50625 = 5^4 \cdot 3^4$

Используя свойство степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, можем записать:

$50625 = (5 \cdot 3)^4 = 15^4$

Теперь извлечем корень четвертой степени:

$\sqrt[4]{50625} = \sqrt[4]{15^4} = 15$

Ответ: $15$.