Номер 294, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

294. Вычислите:

a) $\sqrt{(-2)^2}$;

б) $\sqrt{(-5)^4}$;

в) $\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}$;

г) $\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2}$;

д) $\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}$;

е) $\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{7})^2}$.

а) Для вычисления выражения $\sqrt{(-2)^2}$ воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня, которое гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ (квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа).
Применяя это свойство, где $a = -2$, получаем:
$\sqrt{(-2)^2} = |-2| = 2$.
Ответ: 2.

б) Выражение $\sqrt{(-5)^4}$ можно упростить, представив степень под корнем как квадрат другого выражения, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(-5)^4 = ((-5)^2)^2 = 25^2$.
Теперь выражение принимает вид $\sqrt{25^2}$. Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a=25$, получаем:
$\sqrt{25^2} = |25| = 25$.
Ответ: 25.

в) Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{2}-1$. Выражение становится равным $|\sqrt{2}-1|$.
Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения $\sqrt{2}-1$. Так как $2 > 1$, то и $\sqrt{2} > \sqrt{1}$, что означает $\sqrt{2} > 1$. Следовательно, разность $\sqrt{2}-1$ является положительным числом.
Модуль положительного числа равен самому числу, поэтому $|\sqrt{2}-1| = \sqrt{2}-1$.
Ответ: $\sqrt{2}-1$.

г) Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{2}-2$. Выражение становится равным $|\sqrt{2}-2|$.
Оценим знак выражения $\sqrt{2}-2$. Так как $2 < 4$, то $\sqrt{2} < \sqrt{4}$, что означает $\sqrt{2} < 2$. Следовательно, разность $\sqrt{2}-2$ является отрицательным числом.
Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, поэтому $|\sqrt{2}-2| = -(\sqrt{2}-2) = 2 - \sqrt{2}$.
Ответ: $2 - \sqrt{2}$.

д) Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{2}-\sqrt{3}$. Выражение становится равным $|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$.
Оценим знак выражения $\sqrt{2}-\sqrt{3}$. Так как $2 < 3$, то $\sqrt{2} < \sqrt{3}$. Следовательно, разность $\sqrt{2}-\sqrt{3}$ является отрицательным числом.
Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, поэтому $|\sqrt{2}-\sqrt{3}| = -(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{3} - \sqrt{2}$.

е) Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{5}-\sqrt{7}$. Выражение становится равным $|\sqrt{5}-\sqrt{7}|$.
Оценим знак выражения $\sqrt{5}-\sqrt{7}$. Так как $5 < 7$, то $\sqrt{5} < \sqrt{7}$. Следовательно, разность $\sqrt{5}-\sqrt{7}$ является отрицательным числом.
Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, поэтому $|\sqrt{5}-\sqrt{7}| = -(\sqrt{5}-\sqrt{7}) = \sqrt{7} - \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{7} - \sqrt{5}$.