Номер 300, страница 93 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

300. Докажите, что значение выражения:

а) $\sqrt[4]{17-12\sqrt{2}}-\sqrt{2}$;

б) $\sqrt[4]{97-56\sqrt{3}}+\sqrt{3}$

является целым числом.

а) Докажем, что значение выражения $\sqrt[4]{17 - 12\sqrt{2}} - \sqrt{2}$ является целым числом.

Для этого упростим радикал $\sqrt[4]{17 - 12\sqrt{2}}$. Этот вид выражений называется сложным радикалом. Упрощение можно произвести, представив подкоренное выражение в виде полного квадрата.

1. Упростим выражение под корнем четвертой степени: $17 - 12\sqrt{2}$. Попытаемся представить его в виде квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Сравнивая с нашим выражением, мы должны найти такие $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 17$ и $2ab = 12\sqrt{2}$. Из второго равенства получаем $ab = 6\sqrt{2}$.

Можно подобрать значения. Пусть $a=3$ и $b=2\sqrt{2}$. Проверим, выполняется ли первое равенство:$a^2 + b^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 4 \cdot 2 = 9 + 8 = 17$.Равенство выполняется. Значит, мы можем записать:$17 - 12\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2})^2$.Так как $3 = \sqrt{9}$, а $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$, то $3 - 2\sqrt{2} > 0$.

2. Теперь мы можем извлечь корень:

$\sqrt[4]{17 - 12\sqrt{2}} = \sqrt[4]{(3 - 2\sqrt{2})^2} = \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$.

3. Упростим полученный радикал $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$. Снова применим тот же метод. Ищем $c$ и $d$ такие, что $c^2 + d^2 = 3$ и $2cd = 2\sqrt{2}$, откуда $cd = \sqrt{2}$.

Подберем значения: пусть $c = \sqrt{2}$ и $d = 1$. Проверим сумму квадратов:$c^2 + d^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$.Равенство выполняется. Следовательно:$3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2$.Так как $\sqrt{2} > 1$, то $\sqrt{2} - 1 > 0$.

4. Извлекаем корень:

$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1$.

5. Таким образом, мы нашли, что $\sqrt[4]{17 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$. Подставим это в исходное выражение:

$(\sqrt{2} - 1) - \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} = -1$.

Значение выражения равно -1, что является целым числом. Доказано.

Ответ: -1.

б) Докажем, что значение выражения $\sqrt[4]{97 - 56\sqrt{3}} + \sqrt{3}$ является целым числом.

Действуем аналогично пункту а), упрощая сложный радикал.

1. Упростим выражение под корнем $97 - 56\sqrt{3}$. Представим его в виде $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Нам нужно, чтобы $a^2 + b^2 = 97$ и $2ab = 56\sqrt{3}$, то есть $ab = 28\sqrt{3}$.

Подберем значения. Пусть $a=7$ и $b=4\sqrt{3}$. Проверим сумму квадратов:$a^2 + b^2 = 7^2 + (4\sqrt{3})^2 = 49 + 16 \cdot 3 = 49 + 48 = 97$.Равенство выполняется. Значит:$97 - 56\sqrt{3} = (7 - 4\sqrt{3})^2$.Так как $7 = \sqrt{49}$, а $4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$, то $7 - 4\sqrt{3} > 0$.

2. Извлекаем корень:

$\sqrt[4]{97 - 56\sqrt{3}} = \sqrt[4]{(7 - 4\sqrt{3})^2} = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$.

3. Упростим радикал $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$. Ищем $c$ и $d$ такие, что $c^2 + d^2 = 7$ и $2cd = 4\sqrt{3}$, то есть $cd = 2\sqrt{3}$.

Пусть $c=2$ и $d=\sqrt{3}$. Проверим сумму квадратов:$c^2 + d^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$.Равенство выполняется. Следовательно:$7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2$.Так как $2 = \sqrt{4}$, то $2 - \sqrt{3} > 0$.

4. Извлекаем корень:

$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3}$.

5. Мы получили, что $\sqrt[4]{97 - 56\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$. Подставим это в исходное выражение:

$(2 - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2$.

Значение выражения равно 2, что является целым числом. Доказано.

Ответ: 2.