Номер 297, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

297. Для каких чисел a имеет смысл выражение:

а) $ \sqrt{2a} $;

б) $ \sqrt[3]{a-1} $;

в) $ \sqrt[4]{-a} $;

г) $ \sqrt[5]{1-a} $?

¹Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выражения имеют смысл.

а) Выражение $\sqrt{2a}$ представляет собой арифметический квадратный корень. По определению, корень четной степени (в данном случае степень равна 2) имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. Поэтому для того, чтобы выражение имело смысл, необходимо выполнение условия:
$2a \ge 0$
Разделив обе части неравенства на 2, получим:
$a \ge 0$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех неотрицательных значениях $a$.
Ответ: $a \ge 0$.

б) Выражение $\sqrt[3]{a-1}$ представляет собой корень нечетной степени (кубический корень, степень равна 3). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения, так как можно извлечь корень нечетной степени из положительного, отрицательного числа или нуля. Следовательно, выражение $a-1$ может быть любым действительным числом, и никаких ограничений на переменную $a$ не накладывается.
Ответ: $a$ — любое число.

в) Выражение $\sqrt[4]{-a}$ представляет собой корень четной степени (степень равна 4). Как и в случае с квадратным корнем, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, имеем следующее условие:
$-a \ge 0$
Чтобы найти $a$, умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a \le 0$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех неположительных значениях $a$.
Ответ: $a \le 0$.

г) Выражение $\sqrt[5]{1-a}$ представляет собой корень нечетной степени (степень равна 5). Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения. Значит, выражение $1-a$ может принимать любые значения, и для переменной $a$ нет никаких ограничений.
Ответ: $a$ — любое число.