Номер 298, страница 93 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

298. Для каких чисел k справедливо равенство:

а) $ \sqrt{(k-1)^2} = 1-k $;

б) $ \sqrt{(1+k)^2} = -1-k? $

а)

Рассмотрим равенство $\sqrt{(k-1)^2} = 1-k$.
Основное свойство арифметического квадратного корня заключается в том, что $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это свойство к левой части уравнения, мы получаем:
$\sqrt{(k-1)^2} = |k-1|$.
Таким образом, исходное равенство принимает вид:
$|k-1| = 1-k$.
Заметим, что выражение в правой части, $1-k$, является противоположным выражению под знаком модуля, $k-1$, поскольку $1-k = -(k-1)$.
Равенство вида $|A| = -A$ истинно тогда и только тогда, когда выражение $A$ является неположительным, то есть $A \le 0$.
В данном случае $A = k-1$. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы выполнялось неравенство:
$k-1 \le 0$.
Решив это простое неравенство, получаем:
$k \le 1$.

Ответ: $k \le 1$.

б)

Рассмотрим равенство $\sqrt{(1+k)^2} = -1-k$.
Так же, как и в предыдущем пункте, воспользуемся свойством $\sqrt{a^2} = |a|$. Преобразуем левую часть:
$\sqrt{(1+k)^2} = |1+k|$.
Исходное равенство можно переписать в виде:
$|1+k| = -1-k$.
Вынесем знак минуса за скобки в правой части уравнения:
$-1-k = -(1+k)$.
Теперь наше уравнение имеет вид $|1+k| = -(1+k)$.
Это равенство, как и в пункте а), соответствует форме $|A| = -A$, где $A = 1+k$. Оно справедливо только тогда, когда подмодульное выражение неположительно:
$A \le 0$.
Подставляем наше выражение для $A$:
$1+k \le 0$.
Решаем неравенство относительно $k$:
$k \le -1$.

Ответ: $k \le -1$.