Номер 292, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

292. Вычислите:

а) $\sqrt[4]{5 \frac{1}{16}}$;

б) $\sqrt[3]{4 \frac{17}{27}}$;

в) $\sqrt[4]{2 \frac{113}{256}}$;

г) $\sqrt[3]{669 \frac{59}{64}}$.

а)

Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}$ сначала преобразуем смешанное число, стоящее под корнем, в неправильную дробь.

$5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$

Теперь подставим полученную дробь обратно в выражение и воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}$

Далее вычислим корни четвертой степени из числителя и знаменателя:

$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

В результате получаем дробь, которую можно представить в виде смешанного числа:

$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$.

б)

Для вычисления $\sqrt[3]{4\frac{17}{27}}$ первым шагом преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$4\frac{17}{27} = \frac{4 \cdot 27 + 17}{27} = \frac{108 + 17}{27} = \frac{125}{27}$

Подставим полученную дробь под корень и применим свойство корня из дроби:

$\sqrt[3]{\frac{125}{27}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{27}}$

Теперь вычислим кубические корни из числителя и знаменателя:

$\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.

$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.

Получаем значение выражения:

$\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

Ответ: $1\frac{2}{3}$.

в)

Чтобы вычислить $\sqrt[4]{2\frac{113}{256}}$, необходимо преобразовать смешанное число в неправильную дробь.

$2\frac{113}{256} = \frac{2 \cdot 256 + 113}{256} = \frac{512 + 113}{256} = \frac{625}{256}$

Теперь извлечем корень четвертой степени из полученной дроби, используя свойство корня:

$\sqrt[4]{\frac{625}{256}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{256}}$

Вычислим значения корней:

$\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.

$\sqrt[4]{256} = 4$, так как $4^4 = 256$.

Таким образом, результат равен:

$\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

Ответ: $1\frac{1}{4}$.

г)

Для вычисления значения $\sqrt[3]{669\frac{59}{64}}$ преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$669\frac{59}{64} = \frac{669 \cdot 64 + 59}{64} = \frac{42816 + 59}{64} = \frac{42875}{64}$

Подставим полученную дробь под знак корня и применим свойство корня из дроби:

$\sqrt[3]{\frac{42875}{64}} = \frac{\sqrt[3]{42875}}{\sqrt[3]{64}}$

Вычислим кубические корни из числителя и знаменателя:

$\sqrt[3]{42875} = 35$, так как $35^3 = 35 \cdot 35 \cdot 35 = 1225 \cdot 35 = 42875$.

$\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$.

Тогда искомое значение равно:

$\frac{35}{4} = 8\frac{3}{4}$

Ответ: $8\frac{3}{4}$.