Номер 290, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

290. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}};$

б) $\frac{1}{\sqrt[5]{2}};$

в) $\frac{3}{\sqrt[3]{-4}};$

г) $\frac{5}{\sqrt[5]{-9}}.$

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} $, необходимо домножить ее числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы в знаменателе исчез корень. Знаменатель можно представить в виде степени $ 2^{1/3} $. Чтобы показатель степени стал целым числом (в данном случае 1), нужно домножить это выражение на $ 2^{2/3} $, так как по свойству степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, получим $ 2^{1/3} \cdot 2^{2/3} = 2^{1/3+2/3} = 2^1 = 2 $. Множитель $ 2^{2/3} $ равен $ \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} $.
Выполним умножение числителя и знаменателя на $ \sqrt[3]{4} $:
$ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2 \cdot 4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[3]{4}}{2} $

б) Для дроби $ \frac{1}{\sqrt[5]{2}} $ действуем аналогично. Знаменатель равен $ 2^{1/5} $. Чтобы избавиться от корня, необходимо, чтобы показатель степени стал целым числом. Домножим числитель и знаменатель на $ 2^{4/5} $, так как $ 2^{1/5} \cdot 2^{4/5} = 2^{1/5+4/5} = 2^1=2 $. Множитель $ 2^{4/5} $ равен $ \sqrt[5]{2^4} = \sqrt[5]{16} $.
Выполним умножение:
$ \frac{1}{\sqrt[5]{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{16}} = \frac{\sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{2 \cdot 16}} = \frac{\sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{\sqrt[5]{16}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[5]{16}}{2} $

в) Рассмотрим дробь $ \frac{3}{\sqrt[3]{-4}} $. Поскольку корень нечетной степени (3), знак минус можно вынести из-под корня: $ \sqrt[3]{-4} = -\sqrt[3]{4} $.
Таким образом, дробь можно переписать в виде: $ \frac{3}{-\sqrt[3]{4}} = -\frac{3}{\sqrt[3]{4}} $.
Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе. Знаменатель $ \sqrt[3]{4} $ можно представить как $ \sqrt[3]{2^2} $ или $ 2^{2/3} $. Домножим числитель и знаменатель на $ 2^{1/3} = \sqrt[3]{2} $, чтобы получить в знаменателе $ 2^{2/3} \cdot 2^{1/3} = 2^1=2 $.
Выполним умножение:
$ -\frac{3}{\sqrt[3]{4}} = -\frac{3 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}} = -\frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4 \cdot 2}} = -\frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}} = -\frac{3\sqrt[3]{2}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{3\sqrt[3]{2}}{2} $

г) Рассмотрим дробь $ \frac{5}{\sqrt[5]{-9}} $. Поскольку корень нечетной степени (5), можно вынести знак минус из-под корня: $ \sqrt[5]{-9} = -\sqrt[5]{9} $.
Дробь принимает вид: $ \frac{5}{-\sqrt[5]{9}} = -\frac{5}{\sqrt[5]{9}} $.
Знаменатель $ \sqrt[5]{9} $ можно представить как $ \sqrt[5]{3^2} $ или $ 3^{2/5} $. Чтобы избавиться от корня, домножим числитель и знаменатель на $ 3^{3/5} $, так как $ 3^{2/5} \cdot 3^{3/5} = 3^{2/5+3/5}=3^1=3 $. Множитель $ 3^{3/5} $ равен $ \sqrt[5]{3^3} = \sqrt[5]{27} $.
Выполним умножение:
$ -\frac{5}{\sqrt[5]{9}} = -\frac{5 \cdot \sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[5]{27}} = -\frac{5\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{9 \cdot 27}} = -\frac{5\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{243}} = -\frac{5\sqrt[5]{27}}{3} $.
Ответ: $ -\frac{5\sqrt[5]{27}}{3} $