Номер 303, страница 93 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

303. Исследуем. Укажите все значения $a$, для каждого из которых уравнение $x^4=a$ имеет два корня; имеет единственный корень; не имеет корней.

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $a$ уравнение $x^4 = a$ имеет различное количество корней, необходимо проанализировать свойства функции $y = x^4$.

Левая часть уравнения, $x^4$, всегда является неотрицательным числом для любого действительного значения $x$, поскольку любое число, возведённое в чётную степень (в данном случае, 4), даёт неотрицательный результат. Таким образом, $x^4 \ge 0$. Количество действительных корней уравнения зависит от знака параметра $a$.

имеет два корня

Уравнение имеет два различных действительных корня, если его правая часть, параметр $a$, является строго положительным числом, то есть $a > 0$. В этом случае существуют два числа, положительное и отрицательное, которые при возведении в четвёртую степень дадут $a$. Этими корнями являются $x_1 = \sqrt[4]{a}$ и $x_2 = -\sqrt[4]{a}$. Так как $a > 0$, эти два корня существуют и не равны друг другу.

Ответ: $a > 0$.

имеет единственный корень

Уравнение имеет ровно один корень, если параметр $a$ равен нулю. Уравнение при $a=0$ принимает вид $x^4 = 0$. Единственное действительное число, которое удовлетворяет этому равенству, — это $x = 0$. Следовательно, при $a=0$ уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $a = 0$.

не имеет корней

Уравнение не имеет действительных корней, если параметр $a$ является отрицательным числом, то есть $a < 0$. Как было указано выше, левая часть уравнения $x^4$ всегда неотрицательна ($x^4 \ge 0$), в то время как правая часть $a$ в этом случае отрицательна. Равенство между неотрицательным и отрицательным числом в множестве действительных чисел невозможно, поэтому при $a < 0$ уравнение не имеет решений.

Ответ: $a < 0$.