Номер 304, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

304. Сформулируйте свойства корней степени $n$.

Свойства корней степени $n$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) формулируются для арифметических корней, то есть для случаев, когда подкоренные выражения неотрицательны. Пусть $a \ge 0$, $b \ge 0$, а $n, m, k$ — натуральные числа, $n \ge 2, m \ge 2$.

1. Корень из произведения

Корень $n$-й степени из произведения неотрицательных сомножителей равен произведению корней $n$-й степени из этих сомножителей.
Формула: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
Это свойство справедливо и для любого количества неотрицательных сомножителей. Если показатель корня $n$ — нечетное число, то свойство справедливо и для отрицательных значений $a$ и $b$.
Ответ: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ (при $a \ge 0, b \ge 0$).

2. Корень из частного (дроби)

Корень $n$-й степени из частного (дроби) равен частному от деления корня $n$-й степени из делимого (числителя) на корень $n$-й степени из делителя (знаменателя), при условии, что делимое неотрицательно, а делитель положителен.
Формула: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (при $b \ne 0$).
Если показатель корня $n$ — нечетное число, то свойство справедливо для любого $a$ и $b \ne 0$.
Ответ: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (при $a \ge 0, b > 0$).

3. Возведение корня в степень

Чтобы возвести корень $n$-й степени из неотрицательного числа в натуральную степень $k$, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение, оставив показатель корня прежним.
Формула: $(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$.
Если показатель корня $n$ — нечетное число, то свойство справедливо для любого значения $a$.
Ответ: $(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$ (при $a \ge 0$).

4. Извлечение корня из корня

Чтобы извлечь корень из корня из неотрицательного числа, нужно перемножить показатели корней, оставив подкоренное выражение без изменений.
Формула: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
Ответ: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ (при $a \ge 0$).

5. Основное свойство корня

Значение корня из неотрицательного числа не изменится, если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число $k$.
Формула: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$.
Ответ: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ (при $a \ge 0$).

6. Тождество $\sqrt[n]{a^n}$

Это свойство зависит от четности показателя корня $n$.
Если $n$ — четное число ($n=2k$), то для любого действительного числа $a$ справедливо равенство: $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$.
Если $n$ — нечетное число ($n=2k+1$), то для любого действительного числа $a$ справедливо равенство: $\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}} = a$.
Ответ: $\sqrt[n]{a^n} = |a|$, если $n$ — четное; $\sqrt[n]{a^n} = a$, если $n$ — нечетное.