Страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

329. a) Какова область значений функции $y = \sqrt[n]{x}$ $(x \ge 0)$?

б) Каковы свойства функции $y = \sqrt[n]{x}$ $(x \ge 0)$?

а) Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция $y$ при всех допустимых значениях аргумента $x$.
Рассмотрим функцию $y = \sqrt[n]{x}$ при условии $x \geq 0$. По определению арифметического корня n-й степени, $\sqrt[n]{x}$ — это такое неотрицательное число, n-я степень которого равна подкоренному выражению $x$.
Из этого определения следует, что для любого $x \geq 0$, значение $y = \sqrt[n]{x}$ также будет неотрицательным, то есть $y \geq 0$.
Теперь покажем, что функция может принимать любое неотрицательное значение. Пусть $y_0$ — любое число такое, что $y_0 \geq 0$. Попробуем найти соответствующее ему значение $x$. Из уравнения $y_0 = \sqrt[n]{x}$ путем возведения обеих частей в степень $n$ получаем $x = y_0^n$. Поскольку $y_0 \geq 0$, то и $x = y_0^n \geq 0$, что входит в область определения функции.
Таким образом, для любого неотрицательного значения $y_0$ существует такое значение $x$, что $y(x) = y_0$. Это означает, что область значений функции — это все неотрицательные числа.

Ответ: Область значений функции $y = \sqrt[n]{x}$ ($x \geq 0$) — это промежуток $[0, +\infty)$, или $y \geq 0$.

б) Основные свойства функции $y = \sqrt[n]{x}$ при $x \geq 0$:
1. Область определения: Задана по условию: $x \geq 0$. В виде промежутка: $D(y) = [0, +\infty)$.
2. Область значений: Как установлено в пункте а), область значений функции $E(y) = [0, +\infty)$.
3. Нули функции: Значение функции равно нулю ($y=0$) при $\sqrt[n]{x} = 0$, что возможно только при $x=0$. Таким образом, график функции пересекает оси координат в одной точке — начале координат $(0, 0)$.
4. Четность и нечетность: Область определения $D(y) = [0, +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).
5. Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей области определения. То есть, для любых $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[0, +\infty)$, если $x_1 < x_2$, то $\sqrt[n]{x_1} < \sqrt[n]{x_2}$.
6. Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения $[0, +\infty)$.
7. Ограниченность и экстремумы: Функция ограничена снизу числом 0 ($y \geq 0$), но не ограничена сверху. В точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения (глобального минимума), равного 0. Наибольшего значения у функции нет.
8. Выпуклость и вогнутость: График функции является выпуклым вверх (или вогнутым) на интервале $(0, +\infty)$.

Ответ: Основные свойства функции $y = \sqrt[n]{x}$ ($x \geq 0$): область определения $D(y) = [0, +\infty)$; область значений $E(y) = [0, +\infty)$; функция является строго возрастающей и непрерывной на всей области определения; не является ни четной, ни нечетной; график проходит через начало координат; функция ограничена снизу.

330. Используя график функции

$y = x^3 (x \ge 0)$, определите приближённо $\sqrt[3]{y}$ для следующих значений $y$:

a) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;

б) 0,5; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5; 7,5; 8,5.

Для решения задачи нам нужно использовать график функции $y = x^3$ при $x \ge 0$. Требуется найти приближенное значение $\sqrt[3]{y}$ для заданных значений $y$.

Из уравнения функции $y = x^3$ следует, что $x = \sqrt[3]{y}$. Таким образом, найти $\sqrt[3]{y}$ — это то же самое, что найти значение $x$, соответствующее заданному значению $y$.

Для этого используется графический метод. Для каждого заданного значения $y$ мы находим соответствующую точку на оси ординат (вертикальной оси), проводим из нее горизонтальную линию до пересечения с графиком функции $y = x^3$, а затем из точки пересечения опускаем вертикальную линию на ось абсцисс (горизонтальную ось). Точка на оси абсцисс и будет искомым приближенным значением.

а)

Используя описанный метод для графика функции $y=x^3$, найдем приближенные значения $\sqrt[3]{y}$ для $y \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$.

Ответ: $\sqrt[3]{1} = 1$; $\sqrt[3]{2} \approx 1.25$; $\sqrt[3]{3} \approx 1.45$; $\sqrt[3]{4} \approx 1.6$; $\sqrt[3]{5} \approx 1.7$; $\sqrt[3]{6} \approx 1.8$; $\sqrt[3]{7} \approx 1.9$; $\sqrt[3]{8} = 2$.

б)

Аналогично, используя график функции $y=x^3$, найдем приближенные значения $\sqrt[3]{y}$ для $y \in \{0,5; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5; 7,5; 8,5\}$.

Ответ: $\sqrt[3]{0.5} \approx 0.8$; $\sqrt[3]{1.5} \approx 1.15$; $\sqrt[3]{2.5} \approx 1.35$; $\sqrt[3]{3.5} \approx 1.5$; $\sqrt[3]{4.5} \approx 1.65$; $\sqrt[3]{5.5} \approx 1.75$; $\sqrt[3]{6.5} \approx 1.85$; $\sqrt[3]{7.5} \approx 1.95$; $\sqrt[3]{8.5} \approx 2.05$.

Постройте график функции (331–332):

331. а) $x = 2y;$

б) $x = -5y;$

в) $x = y^2;$

г) $x = y^3;$

д) $x = 2y - 4;$

для $y \ge 0.$

е) $x = y + 5;$

ж) $x = 2y^2;$

з) $x = 5y^3$

а)

Данное уравнение $x = 2y$ является линейным. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек. Обычно в качестве независимой переменной выступает $x$, а зависимой $y$, но можно и наоборот. Зададим значения для $y$ и вычислим соответствующие значения $x$.

1. Пусть $y = 0$, тогда $x = 2 \cdot 0 = 0$. Получаем точку с координатами $(0, 0)$.
2. Пусть $y = 1$, тогда $x = 2 \cdot 1 = 2$. Получаем точку с координатами $(2, 1)$.
Проведя прямую через эти две точки, получим искомый график. Эта прямая проходит через начало координат. Также можно выразить $y$ через $x$: $y = \frac{1}{2}x$.

Ответ: Графиком функции $x=2y$ является прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$.

б)

Уравнение $x = -5y$ является линейным, его график – прямая линия. Найдем две точки для ее построения.

1. Если $y = 0$, то $x = -5 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.
2. Если $y = 1$, то $x = -5 \cdot 1 = -5$. Получаем точку $(-5, 1)$.
Проведем прямую через точки $(0, 0)$ и $(-5, 1)$. Эта прямая также проходит через начало координат. Выразив $y$ через $x$, получим $y = -\frac{1}{5}x$.

Ответ: Графиком функции $x=-5y$ является прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(-5, 1)$.

в)

Уравнение $x = y^2$ задает параболу. В отличие от стандартной параболы $y = x^2$, у которой ветви направлены вверх, у параболы $x = y^2$ ветви направлены вправо. Это связано с тем, что $x$ равен квадрату $y$, а значит $x \ge 0$ для любых действительных значений $y$. Осью симметрии этой параболы является ось $Ox$.

Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, так как при $y=0$, $x=0$.
Найдем еще несколько точек, задавая значения $y$:
- при $y=1$, $x=1^2=1$, точка $(1, 1)$;
- при $y=-1$, $x=(-1)^2=1$, точка $(1, -1)$;
- при $y=2$, $x=2^2=4$, точка $(4, 2)$;
- при $y=-2$, $x=(-2)^2=4$, точка $(4, -2)$.
Соединив эти точки плавной линией, получим график параболы.

Ответ: Графиком функции $x=y^2$ является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вправо, проходящая через точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$.

г)

Уравнение $x = y^3$ задает кубическую параболу. Этот график симметричен относительно начала координат. Он аналогичен графику функции $y=x^3$, но отражен относительно прямой $y=x$.

Найдем несколько точек для построения графика, задавая значения $y$:
- при $y=0$, $x=0^3=0$, точка $(0, 0)$;
- при $y=1$, $x=1^3=1$, точка $(1, 1)$;
- при $y=-1$, $x=(-1)^3=-1$, точка $(-1, -1)$;
- при $y=2$, $x=2^3=8$, точка $(8, 2)$;
- при $y=-2$, $x=(-2)^3=-8$, точка $(-8, -2)$.
График проходит через начало координат, расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: Графиком функции $x=y^3$ является кубическая парабола, симметричная относительно начала координат и проходящая через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(8, 2)$.

д)

Уравнение $x = 2y - 4$ является линейным, но с ограничением $y \ge 0$. Это означает, что график будет не всей прямой, а только ее частью — лучом.

Найдем начальную точку луча. Она соответствует минимально возможному значению $y$, то есть $y=0$.
При $y=0$, $x = 2 \cdot 0 - 4 = -4$. Начальная точка луча – $(-4, 0)$.
Для построения луча найдем еще одну точку, удовлетворяющую условию $y > 0$. Возьмем, например, $y=2$.
При $y=2$, $x = 2 \cdot 2 - 4 = 0$. Вторая точка – $(0, 2)$.
График представляет собой луч, выходящий из точки $(-4, 0)$ и проходящий через точку $(0, 2)$.

Ответ: Графиком функции $x=2y-4$ для $y \ge 0$ является луч с началом в точке $(-4, 0)$, проходящий через точку $(0, 2)$.

е)

Уравнение $x = y + 5$ является линейным. Его график — прямая. Найдем две точки для ее построения. Удобно найти точки пересечения с осями координат.

1. Точка пересечения с осью $Ox$ (при $y=0$): $x = 0 + 5 = 5$. Точка $(5, 0)$.
2. Точка пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$): $0 = y + 5$, откуда $y = -5$. Точка $(0, -5)$.
Проведем прямую через точки $(5, 0)$ и $(0, -5)$.

Ответ: Графиком функции $x=y+5$ является прямая, проходящая через точки $(5, 0)$ и $(0, -5)$.

ж)

Уравнение $x = 2y^2$ задает параболу. Как и в случае $x = y^2$, ее ветви направлены вправо (так как $2y^2 \ge 0$, то $x \ge 0$), а осью симметрии является ось $Ox$. Вершина находится в точке $(0, 0)$. Коэффициент 2 "растягивает" параболу вдоль оси $Ox$ в 2 раза по сравнению с графиком $x=y^2$.

Найдем несколько точек, задавая значения $y$:
- при $y=0$, $x=2 \cdot 0^2 = 0$, вершина $(0, 0)$;
- при $y=1$, $x=2 \cdot 1^2=2$, точка $(2, 1)$;
- при $y=-1$, $x=2 \cdot (-1)^2=2$, точка $(2, -1)$;
- при $y=2$, $x=2 \cdot 2^2=8$, точка $(8, 2)$.
Соединив точки, получим параболу.

Ответ: Графиком функции $x=2y^2$ является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветвями, направленными вправо, и проходящая через точки $(2, 1)$ и $(8, 2)$.

з)

Уравнение $x = 5y^3$ задает кубическую параболу, симметричную относительно начала координат. График похож на $x=y^3$, но растянут в 5 раз вдоль оси $Ox$.

Найдем несколько точек для построения, задавая значения $y$:
- при $y=0$, $x=5 \cdot 0^3=0$, точка $(0, 0)$;
- при $y=1$, $x=5 \cdot 1^3=5$, точка $(5, 1)$;
- при $y=-1$, $x=5 \cdot (-1)^3=-5$, точка $(-5, -1)$.
График проходит через начало координат, точки $(5, 1)$ и $(-5, -1)$.

Ответ: Графиком функции $x=5y^3$ является кубическая парабола, симметричная относительно начала координат и проходящая через точки $(0, 0)$, $(5, 1)$ и $(-5, -1)$.

332. а) $y = \sqrt[3]{x}$;

для $x \geq 0$.

б) $y = \sqrt[4]{x}$;

в) $y = \sqrt[5]{x}$;

г) $y = \sqrt[6]{x}$

а) Для того чтобы найти производную функции $y = \sqrt[3]{x}$ при $x \ge 0$, представим ее в виде степенной функции: $y = x^{1/3}$.

Далее воспользуемся формулой производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Применяя эту формулу, получаем:

$y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$.

Результат можно записать в виде корня:

$y' = \frac{1}{3x^{2/3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

б) Найдем производную функции $y = \sqrt[4]{x}$.

Представим функцию в виде степени: $y = x^{1/4}$.

Используем формулу для производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:

$y' = (x^{1/4})' = \frac{1}{4}x^{1/4 - 1} = \frac{1}{4}x^{-3/4}$.

Перепишем ответ, используя знак корня:

$y' = \frac{1}{4x^{3/4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

в) Найдем производную функции $y = \sqrt[5]{x}$.

Перепишем функцию в степенном виде: $y = x^{1/5}$.

Применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:

$y' = (x^{1/5})' = \frac{1}{5}x^{1/5 - 1} = \frac{1}{5}x^{-4/5}$.

Запишем результат в виде корня:

$y' = \frac{1}{5x^{4/5}} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

г) Найдем производную функции $y = \sqrt[6]{x}$.

Представим функцию как степень: $y = x^{1/6}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:

$y' = (x^{1/6})' = \frac{1}{6}x^{1/6 - 1} = \frac{1}{6}x^{-5/6}$.

Перепишем результат с использованием знака корня:

$y' = \frac{1}{6x^{5/6}} = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}$.

333. Используя графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = \sqrt[4]{x}$, сравните значения функций (единичные отрезки по 3 см):

а) $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[4]{4}$;

б) $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[4]{3}$;

в) $\sqrt[3]{0,5}$ и $\sqrt[4]{0,5}$;

г) $\sqrt[3]{0,3}$ и $\sqrt[4]{0,3}$.

Для того чтобы сравнить значения функций $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=\sqrt[4]{x}$, необходимо проанализировать взаимное расположение их графиков. Для этого найдем точки, в которых значения функций равны.

Приравняем функции: $\sqrt[3]{x} = \sqrt[4]{x}$.

Поскольку корень четной степени ($\sqrt[4]{x}$) определен только для $x \ge 0$, будем рассматривать только неотрицательные значения $x$.

Чтобы избавиться от корней, возведем обе части уравнения в 12-ю степень (12 – наименьшее общее кратное показателей корней 3 и 4):

$(\sqrt[3]{x})^{12} = (\sqrt[4]{x})^{12}$

$x^{\frac{12}{3}} = x^{\frac{12}{4}}$

$x^4 = x^3$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель:

$x^4 - x^3 = 0$

$x^3(x-1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x=0$ и $x=1$. Это означает, что графики функций $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=\sqrt[4]{x}$ пересекаются в точках с абсциссами 0 и 1.

Теперь определим, какой из графиков лежит выше на интервалах $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

• На интервале $x > 1$: Возьмем любое число больше 1, например, $x=64$.
  $\sqrt[3]{64} = 4$
  $\sqrt[4]{64} = \sqrt{8} \approx 2,828$
  Так как $4 > 2,828$, то на интервале $(1, +\infty)$ график функции $y=\sqrt[3]{x}$ лежит выше графика $y=\sqrt[4]{x}$. Следовательно, при $x>1$ выполняется неравенство $\sqrt[3]{x} > \sqrt[4]{x}$.

• На интервале $0 < x < 1$: Возьмем любое число из этого интервала, например, $x=1/16$.
  $\sqrt[3]{1/16} = 1/\sqrt[3]{16} \approx 1/2,52 \approx 0,397$
  $\sqrt[4]{1/16} = 1/2 = 0,5$
  Так как $0,397 < 0,5$, то на интервале $(0, 1)$ график функции $y=\sqrt[3]{x}$ лежит ниже графика $y=\sqrt[4]{x}$. Следовательно, при $0 < x < 1$ выполняется неравенство $\sqrt[3]{x} < \sqrt[4]{x}$.

Теперь применим эти выводы к каждому случаю.

а) Сравниваем $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[4]{4}$.
Здесь $x=4$. Поскольку $4 > 1$, мы находимся на интервале, где график $y=\sqrt[3]{x}$ лежит выше графика $y=\sqrt[4]{x}$.
Следовательно, $\sqrt[3]{4} > \sqrt[4]{4}$.
Ответ: $\sqrt[3]{4} > \sqrt[4]{4}$.

б) Сравниваем $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[4]{3}$.
Здесь $x=3$. Поскольку $3 > 1$, применяется то же правило, что и в пункте а).
Следовательно, $\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{3}$.
Ответ: $\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{3}$.

в) Сравниваем $\sqrt[3]{0,5}$ и $\sqrt[4]{0,5}$.
Здесь $x=0,5$. Поскольку $0 < 0,5 < 1$, мы находимся на интервале, где график $y=\sqrt[3]{x}$ лежит ниже графика $y=\sqrt[4]{x}$.
Следовательно, $\sqrt[3]{0,5} < \sqrt[4]{0,5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{0,5} < \sqrt[4]{0,5}$.

г) Сравниваем $\sqrt[3]{0,3}$ и $\sqrt[4]{0,3}$.
Здесь $x=0,3$. Поскольку $0 < 0,3 < 1$, применяется то же правило, что и в пункте в).
Следовательно, $\sqrt[3]{0,3} < \sqrt[4]{0,3}$.
Ответ: $\sqrt[3]{0,3} < \sqrt[4]{0,3}$.

334. Известно, что:

а) $\sqrt[3]{a} > 1$;

б) $\sqrt[3]{a} < 1$.

Верно ли, что $a$ больше единицы? больше нуля?

Для решения данной задачи мы будем использовать свойство функции $y=x^3$. Эта функция является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что для любых чисел $x_1$ и $x_2$, если $x_1 > x_2$, то $x_1^3 > x_2^3$, и наоборот. Таким образом, мы можем возводить обе части неравенства в третью степень, сохраняя при этом знак неравенства.

а) Рассмотрим неравенство $\sqrt[3]{a} > 1$.

Возведем обе части этого неравенства в третью степень:

$(\sqrt[3]{a})^3 > 1^3$

В результате получаем:

$a > 1$

Теперь ответим на поставленные вопросы:

• Верно ли, что $a$ больше единицы? Да, это утверждение верно, так как мы получили, что $a > 1$.
• Верно ли, что $a$ больше нуля? Да, это утверждение также верно. Если число больше единицы, оно автоматически больше и нуля.

Ответ: Да, верно, что $a$ больше единицы. Да, верно, что $a$ больше нуля.

б) Рассмотрим неравенство $\sqrt[3]{a} < 1$.

Аналогично пункту а), возведем обе части неравенства в третью степень:

$(\sqrt[3]{a})^3 < 1^3$

В результате получаем:

$a < 1$

Теперь ответим на поставленные вопросы:

• Верно ли, что $a$ больше единицы? Нет, это утверждение неверно. Мы получили, что $a < 1$, что противоречит утверждению $a > 1$.
• Верно ли, что $a$ больше нуля? Нет, это утверждение неверно. Условию $a < 1$ удовлетворяют как положительные числа (например, $a=0.125$, тогда $\sqrt[3]{0.125} = 0.5 < 1$), так и ноль ($a=0$), и отрицательные числа. Например, если $a = -8$, то $\sqrt[3]{-8} = -2 < 1$, но при этом $a$ не больше нуля. Следовательно, утверждать, что $a$ обязательно больше нуля, нельзя.

Ответ: Нет, неверно, что $a$ больше единицы. Нет, неверно, что $a$ больше нуля.

335. Постройте график функции $y = \sqrt[4]{x}$. С помощью графика найдите:

а) при каких $x$ справедливо неравенство $\sqrt[4]{x} > 1$;

б) при каких $x$ справедливо неравенство $\sqrt[4]{x} < 1$.

Сначала построим график функции $y = \sqrt[4]{x}$.

1. Область определения и область значений.
Функция определена для всех неотрицательных значений аргумента, так как корень четной степени извлекается только из неотрицательных чисел. Таким образом, область определения: $x \ge 0$.Поскольку корень четной степени из неотрицательного числа всегда неотрицателен, область значений функции: $y \ge 0$.Весь график будет расположен в первой координатной четверти.

2. Ключевые точки.
Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему. Удобнее подбирать значения $x$, которые являются четвертыми степенями целых чисел, чтобы легко вычислять $y$.

3. Построение графика.
Отметим точки (0, 0), (1, 1), (16, 2) на координатной плоскости. Соединим их плавной линией. Полученный график является возрастающей функцией, которая начинается в начале координат и идет вправо и вверх, постепенно становясь все более пологой.

Теперь с помощью построенного графика решим неравенства. Для этого мысленно или реально проведем на том же чертеже горизонтальную прямую $y=1$.

а) Нам нужно найти значения $x$, для которых справедливо неравенство $\sqrt[4]{x} > 1$. Это соответствует той части графика функции $y = \sqrt[4]{x}$, которая расположена выше прямой $y = 1$.
Сначала найдем точку пересечения графиков $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = 1$:$$ \sqrt[4]{x} = 1 $$Возведя обе части в четвертую степень, получим:$$ (\sqrt[4]{x})^4 = 1^4 $$$$ x = 1 $$Точка пересечения — (1, 1).
Поскольку функция $y = \sqrt[4]{x}$ возрастающая, ее значения будут больше 1 при значениях аргумента $x$, больших абсциссы точки пересечения. Следовательно, график функции лежит выше прямой $y=1$ при $x > 1$.
Ответ: $x > 1$.

б) Нам нужно найти значения $x$, для которых справедливо неравенство $\sqrt[4]{x} < 1$. Это соответствует той части графика функции $y = \sqrt[4]{x}$, которая расположена ниже прямой $y = 1$.
Используя ту же точку пересечения (1, 1), мы видим, что график функции лежит ниже прямой $y=1$ для тех значений $x$, которые меньше абсциссы точки пересечения, то есть при $x < 1$. Однако мы должны учесть область определения функции, которая требует, чтобы $x \ge 0$. Объединяя эти два условия, получаем, что неравенство справедливо при $0 \le x < 1$.
Ответ: $0 \le x < 1$.