Номер 329, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

329. a) Какова область значений функции $y = \sqrt[n]{x}$ $(x \ge 0)$?

б) Каковы свойства функции $y = \sqrt[n]{x}$ $(x \ge 0)$?

а) Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция $y$ при всех допустимых значениях аргумента $x$.
Рассмотрим функцию $y = \sqrt[n]{x}$ при условии $x \geq 0$. По определению арифметического корня n-й степени, $\sqrt[n]{x}$ — это такое неотрицательное число, n-я степень которого равна подкоренному выражению $x$.
Из этого определения следует, что для любого $x \geq 0$, значение $y = \sqrt[n]{x}$ также будет неотрицательным, то есть $y \geq 0$.
Теперь покажем, что функция может принимать любое неотрицательное значение. Пусть $y_0$ — любое число такое, что $y_0 \geq 0$. Попробуем найти соответствующее ему значение $x$. Из уравнения $y_0 = \sqrt[n]{x}$ путем возведения обеих частей в степень $n$ получаем $x = y_0^n$. Поскольку $y_0 \geq 0$, то и $x = y_0^n \geq 0$, что входит в область определения функции.
Таким образом, для любого неотрицательного значения $y_0$ существует такое значение $x$, что $y(x) = y_0$. Это означает, что область значений функции — это все неотрицательные числа.

Ответ: Область значений функции $y = \sqrt[n]{x}$ ($x \geq 0$) — это промежуток $[0, +\infty)$, или $y \geq 0$.

б) Основные свойства функции $y = \sqrt[n]{x}$ при $x \geq 0$:
1. Область определения: Задана по условию: $x \geq 0$. В виде промежутка: $D(y) = [0, +\infty)$.
2. Область значений: Как установлено в пункте а), область значений функции $E(y) = [0, +\infty)$.
3. Нули функции: Значение функции равно нулю ($y=0$) при $\sqrt[n]{x} = 0$, что возможно только при $x=0$. Таким образом, график функции пересекает оси координат в одной точке — начале координат $(0, 0)$.
4. Четность и нечетность: Область определения $D(y) = [0, +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).
5. Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей области определения. То есть, для любых $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[0, +\infty)$, если $x_1 < x_2$, то $\sqrt[n]{x_1} < \sqrt[n]{x_2}$.
6. Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения $[0, +\infty)$.
7. Ограниченность и экстремумы: Функция ограничена снизу числом 0 ($y \geq 0$), но не ограничена сверху. В точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения (глобального минимума), равного 0. Наибольшего значения у функции нет.
8. Выпуклость и вогнутость: График функции является выпуклым вверх (или вогнутым) на интервале $(0, +\infty)$.

Ответ: Основные свойства функции $y = \sqrt[n]{x}$ ($x \geq 0$): область определения $D(y) = [0, +\infty)$; область значений $E(y) = [0, +\infty)$; функция является строго возрастающей и непрерывной на всей области определения; не является ни четной, ни нечетной; график проходит через начало координат; функция ограничена снизу.