Номер 328, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

328. Упростите выражение:

а) $ (\sqrt[4]{a}-1)(\sqrt[4]{a}+1); $

б) $ (\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}); $

в) $ (\sqrt[3]{m}-\sqrt[4]{m})(\sqrt[4]{m}+\sqrt[3]{m}); $

г) $ (\sqrt[4]{p}-\sqrt[3]{p^2})(\sqrt[3]{p^2}+\sqrt[4]{p}). $

а) Данное выражение представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Для его упрощения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В нашем случае $x = \sqrt[4]{a}$ и $y = 1$.

Подставим эти значения в формулу:

$(\sqrt[4]{a} - 1)(\sqrt[4]{a} + 1) = (\sqrt[4]{a})^2 - 1^2$

Теперь упростим полученное выражение. Для этого представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[n]{b^m} = b^{m/n}$.

$(\sqrt[4]{a})^2 = (a^{1/4})^2 = a^{(1/4) \cdot 2} = a^{2/4} = a^{1/2} = \sqrt{a}$.

Второй член: $1^2 = 1$.

Следовательно, итоговое выражение равно $\sqrt{a} - 1$.

Ответ: $\sqrt{a} - 1$.

б) Это выражение также является произведением суммы и разности, поэтому мы снова используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Здесь $a = \sqrt[4]{x}$ и $b = \sqrt[4]{y}$.

Применяем формулу:

$(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}) = (\sqrt[4]{x})^2 - (\sqrt[4]{y})^2$

Упростим каждый член, используя свойство степеней:

$(\sqrt[4]{x})^2 = (x^{1/4})^2 = x^{2/4} = x^{1/2} = \sqrt{x}$.

$(\sqrt[4]{y})^2 = (y^{1/4})^2 = y^{2/4} = y^{1/2} = \sqrt{y}$.

В результате получаем: $\sqrt{x} - \sqrt{y}$.

Ответ: $\sqrt{x} - \sqrt{y}$.

в) Чтобы привести выражение к стандартному виду формулы разности квадратов, поменяем слагаемые во второй скобке местами (от перемены мест слагаемых сумма не меняется).

$(\sqrt[3]{m} - \sqrt[4]{m})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[3]{m}) = (\sqrt[3]{m} - \sqrt[4]{m})(\sqrt[3]{m} + \sqrt[4]{m})$

Теперь мы можем применить формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt[3]{m}$ и $b = \sqrt[4]{m}$.

$(\sqrt[3]{m} - \sqrt[4]{m})(\sqrt[3]{m} + \sqrt[4]{m}) = (\sqrt[3]{m})^2 - (\sqrt[4]{m})^2$

Упростим каждый член:

$(\sqrt[3]{m})^2 = (m^{1/3})^2 = m^{2/3} = \sqrt[3]{m^2}$.

$(\sqrt[4]{m})^2 = (m^{1/4})^2 = m^{2/4} = m^{1/2} = \sqrt{m}$.

Итоговое выражение: $\sqrt[3]{m^2} - \sqrt{m}$.

Ответ: $\sqrt[3]{m^2} - \sqrt{m}$.

г) Аналогично предыдущему пункту, поменяем местами слагаемые во второй скобке, чтобы использовать формулу разности квадратов.

$(\sqrt[4]{p} - \sqrt[3]{p^2})(\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[4]{p}) = (\sqrt[4]{p} - \sqrt[3]{p^2})(\sqrt[4]{p} + \sqrt[3]{p^2})$

Применим формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt[4]{p}$ и $b = \sqrt[3]{p^2}$.

$(\sqrt[4]{p} - \sqrt[3]{p^2})(\sqrt[4]{p} + \sqrt[3]{p^2}) = (\sqrt[4]{p})^2 - (\sqrt[3]{p^2})^2$

Упростим каждый член:

$(\sqrt[4]{p})^2 = (p^{1/4})^2 = p^{2/4} = p^{1/2} = \sqrt{p}$.

$(\sqrt[3]{p^2})^2 = (p^{2/3})^2 = p^{4/3} = \sqrt[3]{p^4}$.

Выражение $\sqrt[3]{p^4}$ можно упростить, вынеся множитель из-под знака корня, так как степень подкоренного выражения больше показателя корня: $\sqrt[3]{p^4} = \sqrt[3]{p^3 \cdot p} = \sqrt[3]{p^3}\sqrt[3]{p} = p\sqrt[3]{p}$.

Таким образом, итоговое выражение равно $\sqrt{p} - p\sqrt[3]{p}$.

Ответ: $\sqrt{p} - p\sqrt[3]{p}$.