Номер 333, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

333. Используя графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = \sqrt[4]{x}$, сравните значения функций (единичные отрезки по 3 см):

а) $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[4]{4}$;

б) $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[4]{3}$;

в) $\sqrt[3]{0,5}$ и $\sqrt[4]{0,5}$;

г) $\sqrt[3]{0,3}$ и $\sqrt[4]{0,3}$.

Для того чтобы сравнить значения функций $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=\sqrt[4]{x}$, необходимо проанализировать взаимное расположение их графиков. Для этого найдем точки, в которых значения функций равны.

Приравняем функции: $\sqrt[3]{x} = \sqrt[4]{x}$.

Поскольку корень четной степени ($\sqrt[4]{x}$) определен только для $x \ge 0$, будем рассматривать только неотрицательные значения $x$.

Чтобы избавиться от корней, возведем обе части уравнения в 12-ю степень (12 – наименьшее общее кратное показателей корней 3 и 4):

$(\sqrt[3]{x})^{12} = (\sqrt[4]{x})^{12}$

$x^{\frac{12}{3}} = x^{\frac{12}{4}}$

$x^4 = x^3$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель:

$x^4 - x^3 = 0$

$x^3(x-1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x=0$ и $x=1$. Это означает, что графики функций $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=\sqrt[4]{x}$ пересекаются в точках с абсциссами 0 и 1.

Теперь определим, какой из графиков лежит выше на интервалах $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

• На интервале $x > 1$: Возьмем любое число больше 1, например, $x=64$.
  $\sqrt[3]{64} = 4$
  $\sqrt[4]{64} = \sqrt{8} \approx 2,828$
  Так как $4 > 2,828$, то на интервале $(1, +\infty)$ график функции $y=\sqrt[3]{x}$ лежит выше графика $y=\sqrt[4]{x}$. Следовательно, при $x>1$ выполняется неравенство $\sqrt[3]{x} > \sqrt[4]{x}$.

• На интервале $0 < x < 1$: Возьмем любое число из этого интервала, например, $x=1/16$.
  $\sqrt[3]{1/16} = 1/\sqrt[3]{16} \approx 1/2,52 \approx 0,397$
  $\sqrt[4]{1/16} = 1/2 = 0,5$
  Так как $0,397 < 0,5$, то на интервале $(0, 1)$ график функции $y=\sqrt[3]{x}$ лежит ниже графика $y=\sqrt[4]{x}$. Следовательно, при $0 < x < 1$ выполняется неравенство $\sqrt[3]{x} < \sqrt[4]{x}$.

Теперь применим эти выводы к каждому случаю.

а) Сравниваем $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[4]{4}$.
Здесь $x=4$. Поскольку $4 > 1$, мы находимся на интервале, где график $y=\sqrt[3]{x}$ лежит выше графика $y=\sqrt[4]{x}$.
Следовательно, $\sqrt[3]{4} > \sqrt[4]{4}$.
Ответ: $\sqrt[3]{4} > \sqrt[4]{4}$.

б) Сравниваем $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[4]{3}$.
Здесь $x=3$. Поскольку $3 > 1$, применяется то же правило, что и в пункте а).
Следовательно, $\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{3}$.
Ответ: $\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{3}$.

в) Сравниваем $\sqrt[3]{0,5}$ и $\sqrt[4]{0,5}$.
Здесь $x=0,5$. Поскольку $0 < 0,5 < 1$, мы находимся на интервале, где график $y=\sqrt[3]{x}$ лежит ниже графика $y=\sqrt[4]{x}$.
Следовательно, $\sqrt[3]{0,5} < \sqrt[4]{0,5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{0,5} < \sqrt[4]{0,5}$.

г) Сравниваем $\sqrt[3]{0,3}$ и $\sqrt[4]{0,3}$.
Здесь $x=0,3$. Поскольку $0 < 0,3 < 1$, применяется то же правило, что и в пункте в).
Следовательно, $\sqrt[3]{0,3} < \sqrt[4]{0,3}$.
Ответ: $\sqrt[3]{0,3} < \sqrt[4]{0,3}$.