Номер 315, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

315. а) $ (\sqrt[3]{x})^2; $

б) $ (\sqrt[4]{m})^5; $

в) $ (\sqrt[5]{ab^4})^2; $

г) $ (\sqrt[3]{4x^3y^2})^2. $

а) Для упрощения выражения $(\sqrt[3]{x})^2$ используется свойство возведения корня в степень: $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$. Согласно этому свойству, можно внести показатель степени, в которую возводится корень, под знак этого корня в качестве показателя степени подкоренного выражения.

Применяя данное правило, получаем:

$(\sqrt[3]{x})^2 = \sqrt[3]{x^2}$

Дальнейшее упрощение невозможно, так как степень подкоренного выражения (2) меньше показателя корня (3).

Ответ: $\sqrt[3]{x^2}$.

б) Упростим выражение $(\sqrt[4]{m})^5$.

Используем то же свойство, что и в предыдущем пункте: $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$.

$(\sqrt[4]{m})^5 = \sqrt[4]{m^5}$

Поскольку степень подкоренного выражения (5) больше показателя корня (4), мы можем вынести часть множителей из-под знака корня. Для этого представим $m^5$ в виде произведения $m^4 \cdot m$:

$\sqrt[4]{m^5} = \sqrt[4]{m^4 \cdot m} = \sqrt[4]{m^4} \cdot \sqrt[4]{m}$

Так как $\sqrt[4]{m^4} = m$ (для $m \ge 0$), получаем:

$m\sqrt[4]{m}$

Ответ: $m\sqrt[4]{m}$.

в) Рассмотрим выражение $(\sqrt[5]{ab^4})^2$.

Возводим подкоренное выражение в степень 2, используя свойство $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$:

$(\sqrt[5]{ab^4})^2 = \sqrt[5]{(ab^4)^2}$

Теперь раскроем скобки под корнем, используя свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$ и свойство степени степени $(x^m)^n = x^{mn}$:

$\sqrt[5]{a^2(b^4)^2} = \sqrt[5]{a^2b^{4 \cdot 2}} = \sqrt[5]{a^2b^8}$

Степень множителя $b$ (равная 8) больше показателя корня (равного 5), поэтому можно вынести множитель из-под знака корня. Представим $b^8$ как $b^5 \cdot b^3$:

$\sqrt[5]{a^2b^8} = \sqrt[5]{a^2 \cdot b^5 \cdot b^3} = \sqrt[5]{b^5} \cdot \sqrt[5]{a^2b^3}$

Поскольку $\sqrt[5]{b^5} = b$, окончательное выражение имеет вид:

$b\sqrt[5]{a^2b^3}$

Ответ: $b\sqrt[5]{a^2b^3}$.

г) Упростим выражение $(\sqrt[3]{4x^3y^2})^2$.

Внесем степень 2 под знак корня:

$(\sqrt[3]{4x^3y^2})^2 = \sqrt[3]{(4x^3y^2)^2}$

Возведем в квадрат каждый множитель в скобках:

$\sqrt[3]{4^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^2)^2} = \sqrt[3]{16 \cdot x^{3 \cdot 2} \cdot y^{2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{16x^6y^4}$

Теперь упростим подкоренное выражение, вынеся множители из-под знака кубического корня. Для этого представим числовые и буквенные множители в виде произведения степеней, кратных 3, и остальных сомножителей.

$16 = 8 \cdot 2 = 2^3 \cdot 2$

$x^6 = (x^2)^3$

$y^4 = y^3 \cdot y$

Подставим эти выражения под корень:

$\sqrt[3]{16x^6y^4} = \sqrt[3]{(2^3 \cdot 2) \cdot (x^2)^3 \cdot (y^3 \cdot y)} = \sqrt[3]{2^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3 \cdot 2y}$

Выносим множители, степени которых равны показателю корня:

$\sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{(x^2)^3} \cdot \sqrt[3]{y^3} \cdot \sqrt[3]{2y} = 2 \cdot x^2 \cdot y \cdot \sqrt[3]{2y}$

Ответ: $2x^2y\sqrt[3]{2y}$.