Номер 314, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (314–317):

314. а) $\frac{\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt[4]{m}}$;
б) $\frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^4}}$;
в) $\frac{\sqrt[3]{a^5b}}{\sqrt[3]{a^2b^4}}$;
г) $\frac{\sqrt[4]{m^7n^5}}{\sqrt[4]{m^3n}}$.

а)

Для упрощения дроби $\frac{\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt[4]{m}}$ воспользуемся свойством частного корней с одинаковым показателем: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. Применим это свойство к нашему выражению:

$\frac{\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt[4]{m}} = \sqrt[4]{\frac{m^3}{m}}$

Далее, упростим подкоренное выражение, используя свойство степеней $\frac{a^k}{a^l} = a^{k-l}$:

$\frac{m^3}{m} = m^{3-1} = m^2$

Подставим результат обратно под корень:

$\sqrt[4]{m^2}$

Теперь упростим сам корень, используя свойство $\sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}}$:

$\sqrt[4]{m^2} = m^{\frac{2}{4}} = m^{\frac{1}{2}} = \sqrt{m}$

Ответ: $\sqrt{m}$

б)

Упростим выражение $\frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^4}}$. Так как показатели корней в числителе и знаменателе одинаковы, объединим их под один корень:

$\frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^4}} = \sqrt[5]{\frac{x^2}{x^4}}$

Упростим дробь под знаком корня, применив правило деления степеней с одинаковым основанием:

$\frac{x^2}{x^4} = x^{2-4} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

Получаем выражение:

$\sqrt[5]{\frac{1}{x^2}}$

Используя свойство корня из дроби, можем записать его в виде:

$\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x^2}} = \frac{1}{\sqrt[5]{x^2}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[5]{x^2}}$

в)

Для упрощения выражения $\frac{\sqrt[3]{a^5b}}{\sqrt[3]{a^2b^4}}$ применим свойство частного корней:

$\frac{\sqrt[3]{a^5b}}{\sqrt[3]{a^2b^4}} = \sqrt[3]{\frac{a^5b}{a^2b^4}}$

Упростим подкоренное выражение, сгруппировав степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{a^5b}{a^2b^4} = \frac{a^5}{a^2} \cdot \frac{b^1}{b^4} = a^{5-2} \cdot b^{1-4} = a^3 \cdot b^{-3} = \frac{a^3}{b^3}$

Подставим упрощенную дробь обратно под корень:

$\sqrt[3]{\frac{a^3}{b^3}} = \sqrt[3]{(\frac{a}{b})^3}$

Так как показатель корня и показатель степени подкоренного выражения равны 3 (нечетное число), то:

$\sqrt[3]{(\frac{a}{b})^3} = \frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$

г)

Упростим выражение $\frac{\sqrt[4]{m^7n^5}}{\sqrt[4]{m^3n}}$, используя свойство частного корней с одинаковым показателем:

$\frac{\sqrt[4]{m^7n^5}}{\sqrt[4]{m^3n}} = \sqrt[4]{\frac{m^7n^5}{m^3n}}$

Упростим выражение под знаком корня:

$\frac{m^7n^5}{m^3n} = \frac{m^7}{m^3} \cdot \frac{n^5}{n^1} = m^{7-3} \cdot n^{5-1} = m^4n^4$

Получим выражение:

$\sqrt[4]{m^4n^4} = \sqrt[4]{(mn)^4}$

Поскольку показатель корня (4) является четным числом, при извлечении корня из выражения в четной степени результатом будет модуль этого выражения: $\sqrt[k]{x^k} = |x|$ при четном $k$.

$\sqrt[4]{(mn)^4} = |mn|$

Рассмотрим область допустимых значений исходного выражения. Выражения под знаком корня четвертой степени должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен равняться нулю. Следовательно, $m^3n > 0$. Это неравенство выполняется, когда переменные $m$ и $n$ имеют одинаковые знаки (либо $m > 0$ и $n > 0$, либо $m < 0$ и $n < 0$). В обоих случаях произведение $mn$ будет положительным. Поэтому $|mn| = mn$.

Ответ: $mn$