Номер 345, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

345. Может ли быть рациональным числом корень степени $n (n \ge 2)$:

а) из простого числа;

б) из натурального числа?

а) Нет, не может. Докажем это методом от противного. Предположим, что корень n-й степени ($n \geq 2$) из простого числа $p$ является рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{k}{m}$, где $k$ и $m$ — натуральные числа и их наибольший общий делитель равен 1. Из равенства $\sqrt[n]{p} = \frac{k}{m}$ после возведения в n-ю степень получаем $p = \frac{k^n}{m^n}$, или $p \cdot m^n = k^n$. Из этого следует, что $k^n$ делится на простое число $p$. По свойству простых чисел, если $p$ делит произведение, оно должно делить хотя бы один из сомножителей. Так как $k^n = k \cdot k \cdot ... \cdot k$, то $p$ делит $k$. Значит, $k = a \cdot p$ для некоторого натурального числа $a$. Подставив это в $p \cdot m^n = k^n$, получим $p \cdot m^n = (a \cdot p)^n = a^n p^n$. Разделив на $p$, имеем $m^n = a^n p^{n-1}$. Так как $n \geq 2$, то $n-1 \geq 1$, и правая часть делится на $p$. Значит, $m^n$ тоже делится на $p$, а следовательно, и $m$ делится на $p$. Мы получили, что и $k$, и $m$ делятся на $p$, что противоречит предположению о несократимости дроби $\frac{k}{m}$. Следовательно, исходное предположение неверно, и корень n-й степени из простого числа всегда иррационален.
Ответ: нет.

б) Да, может. Это происходит в том случае, когда натуральное число $N$ является точной n-й степенью некоторого натурального числа. В этом случае корень $\sqrt[n]{N}$ будет натуральным числом, а любое натуральное число является рациональным.
Докажем, что если корень n-й степени из натурального числа $N$ рационален, то он обязательно является целым. Пусть $\sqrt[n]{N} = \frac{k}{m}$, где $\frac{k}{m}$ — несократимая дробь ($k$ и $m$ — натуральные числа, и их наибольший общий делитель равен 1). Возведя обе части в степень $n$, получим $N = \frac{k^n}{m^n}$, откуда $N \cdot m^n = k^n$. Из этого равенства следует, что $k^n$ делится на $m^n$. Но так как $k$ и $m$ взаимно просты, то и $k^n$ и $m^n$ тоже взаимно просты. Единственная возможность для $m^n$ делить $k^n$ в этом случае — это когда $m^n=1$, что означает $m=1$. Следовательно, $\sqrt[n]{N} = \frac{k}{1} = k$, то есть является целым (в данном случае натуральным) числом.
Например, $\sqrt[3]{64} = 4$. Число $64$ — натуральное, а его кубический корень, $4$, является рациональным числом. Другой пример: $\sqrt{81} = 9$. Число $81$ — натуральное, а его квадратный корень, $9$, является рациональным.
Ответ: да.