Номер 350, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем (350–351).

350. Докажите, что не существует рационального числа, куб которого равен:

а) $2$;

б) $3$;

в) $4$;

г) $5$.

а) Доказательство проведем методом от противного. Допустим, что существует рациональное число $x$, куб которого равен 2. Такое число можно представить в виде несократимой дроби $x = \frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, $q$ — натуральное число, а также $p$ и $q$ являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель равен 1).
Из условия $(\frac{p}{q})^3 = 2$ следует, что $\frac{p^3}{q^3} = 2$, или $p^3 = 2q^3$.
Из этого равенства видно, что $p^3$ является чётным числом. Если куб числа чётен, то и само число должно быть чётным (поскольку куб нечётного числа всегда нечётен). Таким образом, $p$ — чётное число.
Представим $p$ как $p = 2k$ для некоторого целого числа $k$. Подставим это выражение в наше уравнение:
$(2k)^3 = 2q^3$
$8k^3 = 2q^3$
Разделив обе части на 2, получаем:
$4k^3 = q^3$
Из этого нового равенства следует, что $q^3$ также является чётным числом (поскольку делится на 4). Следовательно, число $q$ тоже должно быть чётным.
Итак, мы пришли к выводу, что и $p$, и $q$ — чётные числа. Это значит, что они имеют общий делитель 2. Однако это противоречит нашему начальному предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ несократима.
Полученное противоречие означает, что наше исходное допущение было неверным. Следовательно, не существует рационального числа, куб которого равен 2.
Ответ: Доказано.

б) Допустим, что существует рациональное число $x = \frac{p}{q}$, где дробь несократима, такое, что $x^3 = 3$.
Тогда $(\frac{p}{q})^3 = 3$, что эквивалентно $p^3 = 3q^3$.
Из этого равенства следует, что $p^3$ делится на 3. Если куб целого числа делится на простое число 3, то и само число должно делиться на 3. Значит, $p$ делится на 3.
Запишем $p$ в виде $p = 3k$, где $k$ — целое число. Подставим в уравнение:
$(3k)^3 = 3q^3$
$27k^3 = 3q^3$
Разделим обе части на 3:
$9k^3 = q^3$
Из этого равенства следует, что $q^3$ делится на 9, а значит, $q^3$ делится и на 3. Следовательно, само число $q$ также делится на 3.
Мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 3, то есть имеют общий делитель 3. Это противоречит предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ несократима.
Таким образом, наше допущение неверно, и не существует рационального числа, куб которого равен 3.
Ответ: Доказано.

в) Допустим, что существует рациональное число $x = \frac{p}{q}$ (несократимая дробь), куб которого равен 4.
Тогда $(\frac{p}{q})^3 = 4$, откуда $p^3 = 4q^3$.
Из равенства $p^3 = 4q^3$ следует, что $p^3$ — чётное число. Значит, и $p$ — чётное число.
Пусть $p = 2k$ для некоторого целого $k$. Подставляем в уравнение:
$(2k)^3 = 4q^3$
$8k^3 = 4q^3$
Разделим обе части на 4:
$2k^3 = q^3$
Из этого равенства следует, что $q^3$ — чётное число, а значит, и $q$ — чётное число.
Мы снова пришли к выводу, что $p$ и $q$ оба являются чётными, что противоречит условию несократимости дроби $\frac{p}{q}$.
Следовательно, не существует рационального числа, куб которого равен 4.
Ответ: Доказано.

г) Допустим, что существует рациональное число $x = \frac{p}{q}$ (несократимая дробь), такое, что $x^3 = 5$.
Тогда $(\frac{p}{q})^3 = 5$, что эквивалентно $p^3 = 5q^3$.
Из этого равенства следует, что $p^3$ делится на 5. Так как 5 — простое число, то и само число $p$ должно делиться на 5.
Запишем $p$ в виде $p = 5k$, где $k$ — целое число. Подставим в уравнение:
$(5k)^3 = 5q^3$
$125k^3 = 5q^3$
Разделим обе части на 5:
$25k^3 = q^3$
Из этого равенства следует, что $q^3$ делится на 25, а значит, $q^3$ делится и на 5. Следовательно, само число $q$ также делится на 5.
Мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 5, что противоречит предположению о несократимости дроби $\frac{p}{q}$.
Таким образом, наше допущение было неверным, и не существует рационального числа, куб которого равен 5.
Ответ: Доказано.