Номер 356, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

356. Проверьте справедливость неравенств:

а) $3 < \sqrt[3]{30} < 4;$

б) $7 < \sqrt[3]{350} < 8;$

в) $5,1 < \sqrt[3]{135} < 5,2;$

г) $3,5 < \sqrt[3]{45} < 3,6.$

а) Чтобы проверить справедливость двойного неравенства $3 < \sqrt[3]{30} < 4$, возведем все его части в третью степень. Так как функция $y=x^3$ является строго возрастающей, знаки неравенства сохранятся.
Получим неравенство:
$3^3 < (\sqrt[3]{30})^3 < 4^3$
$27 < 30 < 64$
Данное неравенство является верным, поскольку $27 < 30$ и $30 < 64$. Следовательно, исходное неравенство справедливо.
Ответ: неравенство справедливо.

б) Для проверки неравенства $7 < \sqrt[3]{350} < 8$ возведем все его части в третью (кубическую) степень.
$7^3 < (\sqrt[3]{350})^3 < 8^3$
Вычислим значения:
$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$
$8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$
Получаем неравенство:
$343 < 350 < 512$
Так как $343 < 350$ и $350 < 512$, полученное неравенство верно. Значит, и исходное неравенство справедливо.
Ответ: неравенство справедливо.

в) Проверим неравенство $5,1 < \sqrt[3]{135} < 5,2$. Возводим все части в третью степень.
$(5,1)^3 < (\sqrt[3]{135})^3 < (5,2)^3$
Вычислим значения кубов:
$(5,1)^3 = 5,1 \cdot 5,1 \cdot 5,1 = 26,01 \cdot 5,1 = 132,651$
$(5,2)^3 = 5,2 \cdot 5,2 \cdot 5,2 = 27,04 \cdot 5,2 = 140,608$
Подставим результаты в неравенство:
$132,651 < 135 < 140,608$
Это неравенство верно, поскольку $132,651 < 135$ и $135 < 140,608$. Следовательно, исходное неравенство справедливо.
Ответ: неравенство справедливо.

г) Проверим неравенство $3,5 < \sqrt[3]{45} < 3,6$. Возводим все части в куб.
$(3,5)^3 < (\sqrt[3]{45})^3 < (3,6)^3$
Вычислим значения кубов:
$(3,5)^3 = 3,5 \cdot 3,5 \cdot 3,5 = 12,25 \cdot 3,5 = 42,875$
$(3,6)^3 = 3,6 \cdot 3,6 \cdot 3,6 = 12,96 \cdot 3,6 = 46,656$
Подставим вычисленные значения в неравенство:
$42,875 < 45 < 46,656$
Это неравенство является верным, так как $42,875 < 45$ и $45 < 46,656$. Значит, исходное неравенство справедливо.
Ответ: неравенство справедливо.