Номер 363, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

363. а) $\sqrt{3x - 7} = \sqrt{2x - 5}$;

б) $\sqrt{5x - 9} = \sqrt{2x + 3}$;

в) $\sqrt{15x + 14} = \sqrt{14x + 13}$;

г) $\sqrt{15x - 14} = \sqrt{14x - 13}$;

д) $\sqrt[4]{2x + 1} = \sqrt{2x - 1}$;

е) $\sqrt[4]{2x - 1} = \sqrt{2x - 3}$.

а) $\sqrt{3x - 7} = \sqrt{2x - 5}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств, так как выражения под корнями четной степени должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 3x - 7 \geq 0 \\ 2x - 5 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \geq 7 \\ 2x \geq 5 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq \frac{7}{3} \\ x \geq \frac{5}{2} \end{cases}$.
Поскольку $\frac{5}{2} = 2.5$, а $\frac{7}{3} \approx 2.33$, для одновременного выполнения обоих условий необходимо, чтобы $x \geq 2.5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2.5, +\infty)$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
$(\sqrt{3x - 7})^2 = (\sqrt{2x - 5})^2$
$3x - 7 = 2x - 5$
$3x - 2x = 7 - 5$
$x = 2$
Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $2 < 2.5$, корень $x=2$ не входит в область допустимых значений и является посторонним. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

б) $\sqrt{5x - 9} = \sqrt{2x + 3}$.
Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 5x - 9 \geq 0 \\ 2x + 3 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 5x \geq 9 \\ 2x \geq -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq \frac{9}{5} \\ x \geq -\frac{3}{2} \end{cases}$.
Так как $\frac{9}{5} = 1.8$ и $\frac{9}{5} > -\frac{3}{2}$, ОДЗ: $x \geq 1.8$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$5x - 9 = 2x + 3$
$5x - 2x = 3 + 9$
$3x = 12$
$x = 4$
Найденный корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \geq 1.8$).
Ответ: 4.

в) $\sqrt{15x + 14} = \sqrt{14x + 13}$.
Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 15x + 14 \geq 0 \\ 14x + 13 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 15x \geq -14 \\ 14x \geq -13 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -\frac{14}{15} \\ x \geq -\frac{13}{14} \end{cases}$.
Поскольку $-\frac{13}{14} \approx -0.928$ и $-\frac{14}{15} \approx -0.933$, то $-\frac{13}{14} > -\frac{14}{15}$. ОДЗ: $x \geq -\frac{13}{14}$.
Возведем обе части в квадрат:
$15x + 14 = 14x + 13$
$15x - 14x = 13 - 14$
$x = -1$
Корень $x=-1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1 < -\frac{13}{14}$. Следовательно, это посторонний корень.
Ответ: корней нет.

г) $\sqrt{15x - 14} = \sqrt{14x - 13}$.
Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 15x - 14 \geq 0 \\ 14x - 13 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 15x \geq 14 \\ 14x \geq 13 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq \frac{14}{15} \\ x \geq \frac{13}{14} \end{cases}$.
Поскольку $\frac{14}{15} \approx 0.933$ и $\frac{13}{14} \approx 0.928$, то $\frac{14}{15} > \frac{13}{14}$. ОДЗ: $x \geq \frac{14}{15}$.
Возведем обе части в квадрат:
$15x - 14 = 14x - 13$
$15x - 14x = 14 - 13$
$x = 1$
Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $1 \geq \frac{14}{15}$.
Ответ: 1.

д) $\sqrt[4]{2x + 1} = \sqrt{2x - 1}$.
Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 2x + 1 \geq 0 \\ 2x - 1 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -0.5 \\ x \geq 0.5 \end{cases}$.
Следовательно, ОДЗ: $x \geq 0.5$.
Чтобы избавиться от корней, возведем обе части уравнения в 4-ю степень (наименьшее общее кратное показателей корней 4 и 2):
$(\sqrt[4]{2x + 1})^4 = (\sqrt{2x - 1})^4$
$2x + 1 = (2x - 1)^2$
$2x + 1 = 4x^2 - 4x + 1$
$4x^2 - 6x = 0$
$2x(2x - 3) = 0$
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1.5$.
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ ($0 < 0.5$), поэтому является посторонним. Корень $x_2=1.5$ удовлетворяет ОДЗ ($1.5 \geq 0.5$).
Ответ: 1,5.

е) $\sqrt[4]{2x - 1} = \sqrt{2x - 3}$.
Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 2x - 1 \geq 0 \\ 2x - 3 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 0.5 \\ x \geq 1.5 \end{cases}$.
Следовательно, ОДЗ: $x \geq 1.5$.
Возведем обе части уравнения в 4-ю степень:
$(\sqrt[4]{2x - 1})^4 = (\sqrt{2x - 3})^4$
$2x - 1 = (2x - 3)^2$
$2x - 1 = 4x^2 - 12x + 9$
$4x^2 - 14x + 10 = 0$
Разделим обе части на 2: $2x^2 - 7x + 5 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 3}{4}$.
$x_1 = \frac{7 - 3}{4} = 1$, $x_2 = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$.
Корень $x_1=1$ не удовлетворяет ОДЗ ($1 < 1.5$), поэтому является посторонним. Корень $x_2=2.5$ удовлетворяет ОДЗ ($2.5 \geq 1.5$).
Ответ: 2,5.