Номер 367, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

367. a) $(x^2 - 4)(\sqrt{x+1} - 2) = 0;$

б) $(x^2 - 16)(\sqrt{x+3} - 1) = 0;$

в) $(x^2 - x - 6)(\sqrt{x+1} - 3) = 0;$

г) $(x^2 + 2x - 15)(\sqrt{x+4} - 1) = 0;$

д) $(\sqrt[6]{2x^2 - 7} + \sqrt[3]{x - 3})(\sqrt[4]{x^2 - 2x - 2} - 1) = 0.$

а)Исходное уравнение: $(x^2 - 4)(\sqrt{x+1} - 2) = 0$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.
ОДЗ: $x \in [-1, +\infty)$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (т.е. значение $x$ входит в ОДЗ).
Рассмотрим два случая:
1) $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2$.
Проверяем корни по ОДЗ:

• $x_1 = 2$ принадлежит ОДЗ, так как $2 \ge -1$.
• $x_2 = -2$ не принадлежит ОДЗ, так как $-2 < -1$. Это посторонний корень.

2) $\sqrt{x+1} - 2 = 0 \implies \sqrt{x+1} = 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x+1})^2 = 2^2 \implies x+1 = 4 \implies x_3 = 3$.
Проверяем корень по ОДЗ: $x_3 = 3$ принадлежит ОДЗ, так как $3 \ge -1$.
Объединяя все подходящие корни, получаем окончательное решение.
Ответ: $2; 3$.

б)Исходное уравнение: $(x^2 - 16)(\sqrt{x+3} - 1) = 0$.
ОДЗ: $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
ОДЗ: $x \in [-3, +\infty)$.
1) $x^2 - 16 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x_1 = 4, x_2 = -4$.
Проверяем корни по ОДЗ:

• $x_1 = 4$ принадлежит ОДЗ ($4 \ge -3$).
• $x_2 = -4$ не принадлежит ОДЗ ($-4 < -3$). Посторонний корень.

2) $\sqrt{x+3} - 1 = 0 \implies \sqrt{x+3} = 1$.
Возводим в квадрат: $x+3 = 1 \implies x_3 = -2$.
Проверяем корень по ОДЗ: $x_3 = -2$ принадлежит ОДЗ ($-2 \ge -3$).
Ответ: $-2; 4$.

в)Исходное уравнение: $(x^2 - x - 6)(\sqrt{x+1} - 3) = 0$.
ОДЗ: $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
ОДЗ: $x \in [-1, +\infty)$.
1) $x^2 - x - 6 = 0$.
Используем теорему Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни: $x_1 = 3, x_2 = -2$.
Проверяем корни по ОДЗ:

• $x_1 = 3$ принадлежит ОДЗ ($3 \ge -1$).
• $x_2 = -2$ не принадлежит ОДЗ ($-2 < -1$). Посторонний корень.

2) $\sqrt{x+1} - 3 = 0 \implies \sqrt{x+1} = 3$.
Возводим в квадрат: $x+1 = 9 \implies x_3 = 8$.
Проверяем корень по ОДЗ: $x_3 = 8$ принадлежит ОДЗ ($8 \ge -1$).
Ответ: $3; 8$.

г)Исходное уравнение: $(x^2 + 2x - 15)(\sqrt{x+4} - 1) = 0$.
ОДЗ: $x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$.
ОДЗ: $x \in [-4, +\infty)$.
1) $x^2 + 2x - 15 = 0$.
Используем теорему Виета: $x_1 + x_2 = -2$, $x_1 \cdot x_2 = -15$. Корни: $x_1 = 3, x_2 = -5$.
Проверяем корни по ОДЗ:

• $x_1 = 3$ принадлежит ОДЗ ($3 \ge -4$).
• $x_2 = -5$ не принадлежит ОДЗ ($-5 < -4$). Посторонний корень.

2) $\sqrt{x+4} - 1 = 0 \implies \sqrt{x+4} = 1$.
Возводим в квадрат: $x+4 = 1 \implies x_3 = -3$.
Проверяем корень по ОДЗ: $x_3 = -3$ принадлежит ОДЗ ($-3 \ge -4$).
Ответ: $-3; 3$.

д)Исходное уравнение: $(\sqrt[6]{2x^2 - 7} + \sqrt[3]{x-3})(\sqrt[4]{x^2 - 2x - 2} - 1) = 0$.
Найдем ОДЗ. Выражения под корнями четной степени должны быть неотрицательными:
1. $2x^2 - 7 \ge 0 \implies x^2 \ge 3.5 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{3.5}] \cup [\sqrt{3.5}, +\infty)$.2. $x^2 - 2x - 2 \ge 0$. Найдем корни $x^2 - 2x - 2 = 0$: $D = (-2)^2 - 4(1)(-2) = 12$, $x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$. Парабола ветвями вверх, значит неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1-\sqrt{3}] \cup [1+\sqrt{3}, +\infty)$.
Объединим условия. Так как $\sqrt{3.5} \approx 1.87$, $1-\sqrt{3} \approx -0.73$, $1+\sqrt{3} \approx 2.73$, то $-\sqrt{3.5} < 1-\sqrt{3}$.ОДЗ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3.5}] \cup [1+\sqrt{3}, +\infty)$.
Рассмотрим два случая:
1) $\sqrt[6]{2x^2 - 7} + \sqrt[3]{x-3} = 0 \implies \sqrt[6]{2x^2 - 7} = -\sqrt[3]{x-3}$.
Левая часть неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной: $-\sqrt[3]{x-3} \ge 0 \implies x-3 \le 0 \implies x \le 3$.Возведем обе части в шестую степень: $2x^2-7 = (-(x-3)^{1/3})^6 = (x-3)^2$.
$2x^2-7 = x^2-6x+9 \implies x^2+6x-16=0$.
Корни: $x_1=2, x_2=-8$.
Проверяем корни:

• $x_1=2$. Удовлетворяет условию $x \le 3$, но не входит в ОДЗ, так как $2$ не принадлежит $(-\infty, -\sqrt{3.5}] \cup [1+\sqrt{3}, +\infty)$. Посторонний корень.
• $x_2=-8$. Удовлетворяет условию $x \le 3$ и входит в ОДЗ, так как $-8 \le -\sqrt{3.5}$. Этот корень подходит.

2) $\sqrt[4]{x^2 - 2x - 2} - 1 = 0 \implies \sqrt[4]{x^2 - 2x - 2} = 1$.
Возведем в четвертую степень: $x^2 - 2x - 2 = 1 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$.
Корни: $x_3=3, x_4=-1$.
Проверяем корни:

• $x_3=3$. Входит в ОДЗ, так как $3 \ge 1+\sqrt{3}$. Этот корень подходит.
• $x_4=-1$. Не входит в ОДЗ. Посторонний корень.

Ответ: $-8; 3$.