Номер 369, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

369. а) Что понимается под степенью с рациональным показателем $ \frac{p}{q} $ ($ q \ge 2 $) положительного числа $ a $?

б) Сформулируйте теорему, доказанную в этом пункте.

в) Почему в определении степени с рациональным показателем нет противоречия?

а) Под степенью положительного числа $a$ с рациональным показателем $r = \frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число ($q \ge 2$), понимают число, равное корню $q$-й степени из числа $a$, возведенного в степень $p$. Таким образом, по определению, $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$. Условие, что основание степени $a$ является положительным числом, является существенным, поскольку оно гарантирует, что корень $q$-й степени из $a^p$ будет определен и действителен для любых указанных $p$ и $q$.
Ответ: Степенью положительного числа $a$ с рациональным показателем $\frac{p}{q}$ (где $p$ — целое, $q$ — натуральное, $q \ge 2$) называется число $\sqrt[q]{a^p}$.

б) Теорема, которая доказывается в этом разделе, устанавливает корректность определения степени с рациональным показателем. Она утверждает, что значение степени не зависит от формы записи рационального показателя в виде дроби. Формулировка теоремы следующая: если $a$ — положительное число, а $\frac{p}{q}$ — рациональное число ($p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}, q \ge 2$), то для любого натурального числа $k$ справедливо равенство $a^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{pk}{qk}}$.
Ответ: Теорема: для любого положительного числа $a$, любого целого числа $p$ и любых натуральных чисел $q \ge 2$ и $k$ справедливо равенство $\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[qk]{a^{pk}}$.

в) Определение степени с рациональным показателем могло бы содержать противоречие, если бы его значение зависело от конкретной дроби, представляющей рациональный показатель. Например, рациональное число $0,5$ можно представить как $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{6}$ и так далее. Если бы значение $a^{\frac{1}{2}}$ отличалось от значения $a^{\frac{2}{4}}$, определение было бы противоречивым. Однако теорема, сформулированная в пункте б), доказывает, что $\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[qk]{a^{pk}}$. Это означает, что $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$ и $a^{\frac{2}{4}} = \sqrt[4]{a^2}$ равны, так как по свойству корней $\sqrt[4]{a^2} = \sqrt{a}$. Поскольку любое представление рационального числа $r$ в виде дроби можно получить из несократимой дроби $\frac{p}{q}$ умножением числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число $k$, то значение степени $a^r$ не зависит от выбора дроби. Это и гарантирует отсутствие противоречий в определении.
Ответ: В определении нет противоречия, так как значение степени $a^r$ для рационального $r = \frac{p}{q}$ не зависит от выбора конкретной дроби, представляющей число $r$. Доказано, что для любых эквивалентных дробей $\frac{p}{q} = \frac{pk}{qk}$ результат вычисления, то есть $\sqrt[q]{a^p}$ и $\sqrt[qk]{a^{pk}}$, будет одинаковым.