Номер 374, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

374. a) $a^{-0.5}$, $b^{-\frac{2}{3}}$, $c^{-2.5}$;

б) $(a^2 - b)^{-\frac{1}{2}}$, $(1 - 2y)^{-\frac{2}{5}}$, $(x - a^2)^{-\frac{1}{n}}$, где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$.

а)

Для того чтобы представить выражения с отрицательным показателем в виде дроби, мы воспользуемся свойством степени $x^{-p} = \frac{1}{x^p}$, где $x \neq 0$. Если показатель является рациональным числом, то есть имеет вид $\frac{m}{n}$, то используется определение $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$.

Рассмотрим каждое выражение по отдельности:

Для $a^{-0,5}$:
1. Преобразуем десятичный показатель в обыкновенную дробь: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.
2. Выражение принимает вид $a^{-\frac{1}{2}}$.
3. Применяем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}$.
4. Представляем степень с дробным показателем в виде корня: $\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a}}$. Данное выражение определено при $a > 0$.

Для $b^{-\frac{2}{3}}$:
1. Применяем свойство степени с отрицательным показателем: $b^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{b^{\frac{2}{3}}}$.
2. Представляем степень с дробным показателем в виде корня: $\frac{1}{b^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}$. Данное выражение определено при $b \neq 0$.

Для $c^{-2,5}$:
1. Преобразуем десятичный показатель в обыкновенную дробь: $-2,5 = -\frac{25}{10} = -\frac{5}{2}$.
2. Выражение принимает вид $c^{-\frac{5}{2}}$.
3. Применяем свойство степени с отрицательным показателем: $c^{-\frac{5}{2}} = \frac{1}{c^{\frac{5}{2}}}$.
4. Представляем степень с дробным показателем в виде корня: $\frac{1}{c^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{c^5}}$. Данное выражение определено при $c > 0$.

Ответ: $a^{-0,5} = \frac{1}{\sqrt{a}}$; $b^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}$; $c^{-2,5} = \frac{1}{\sqrt{c^5}}$.

б)

В данном пункте применяются те же правила, что и в пункте а), но основанием степени является целое выражение в скобках.

Рассмотрим каждое выражение по отдельности:

Для $(a^2 - b)^{-\frac{1}{2}}$:
1. Применяем свойство степени с отрицательным показателем: $(a^2 - b)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{(a^2 - b)^{\frac{1}{2}}}$.
2. Представляем степень с дробным показателем в виде корня: $\frac{1}{(a^2 - b)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - b}}$. Данное выражение определено при $a^2 - b > 0$.

Для $(1 - 2y)^{-\frac{2}{5}}$:
1. Применяем свойство степени с отрицательным показателем: $(1 - 2y)^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{(1 - 2y)^{\frac{2}{5}}}$.
2. Представляем степень с дробным показателем в виде корня: $\frac{1}{(1 - 2y)^{\frac{2}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{(1 - 2y)^2}}$. Данное выражение определено при $1 - 2y \neq 0$, то есть $y \neq \frac{1}{2}$.

Для $(x - a^2)^{-\frac{1}{n}}$, где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$:
1. Применяем свойство степени с отрицательным показателем: $(x - a^2)^{-\frac{1}{n}} = \frac{1}{(x - a^2)^{\frac{1}{n}}}$.
2. Представляем степень с дробным показателем в виде корня: $\frac{1}{(x - a^2)^{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x - a^2}}$. Условия существования выражения зависят от четности $n$: если $n$ четное, то $x - a^2 > 0$; если $n$ нечетное, то $x - a^2 \neq 0$.

Ответ: $(a^2 - b)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - b}}$; $(1 - 2y)^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{(1 - 2y)^2}}$; $(x - a^2)^{-\frac{1}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x - a^2}}$.