Страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Запишите в виде корней (373—374):

373. а) $a^{\frac{1}{2}}, a^{\frac{1}{3}}, b^{\frac{1}{4}}, (ac)^{\frac{1}{7}};$

б) $(x+1)^{\frac{1}{2}}, (a-b)^{\frac{7}{4}}, (m+3)^{\frac{1}{4}};$

в) $3^{\frac{2}{3}}, 4^{\frac{3}{5}}, 6^{\frac{2}{3}}, 7^{\frac{5}{9}}, 10^{0,6};$

г) $a^{1\frac{2}{3}}, c^{1,4}, x^{\frac{1}{n}}, x^{\frac{n}{2}}, y^{\frac{m}{n}},$

где $n$ и $m$ — натуральные числа и $n \ge 2$.

Чтобы записать степень с рациональным показателем в виде корня, используется формула $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В этой формуле основание степени $a$ становится подкоренным выражением, числитель показателя $m$ — степенью подкоренного выражения, а знаменатель $n$ — показателем корня.

а)

$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a}$
$a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a^1} = \sqrt[3]{a}$
$b^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{b^1} = \sqrt[4]{b}$
$(ac)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{(ac)^1} = \sqrt[7]{ac}$
Ответ: $\sqrt{a}; \sqrt[3]{a}; \sqrt[4]{b}; \sqrt[7]{ac}$.

б)

$(x+1)^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{(x+1)^1} = \sqrt{x+1}$
$(a-b)^{\frac{7}{4}} = \sqrt[4]{(a-b)^7}$
$(m+3)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{(m+3)^1} = \sqrt[4]{m+3}$
Ответ: $\sqrt{x+1}; \sqrt[4]{(a-b)^7}; \sqrt[4]{m+3}$.

в)

$3^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$
$4^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{4^3} = \sqrt[5]{64}$
$6^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{6^2} = \sqrt[3]{36}$
$7^{\frac{5}{9}} = \sqrt[9]{7^5}$
$10^{0,6} = 10^{\frac{6}{10}} = 10^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{10^3} = \sqrt[5]{1000}$
Ответ: $\sqrt[3]{9}; \sqrt[5]{64}; \sqrt[3]{36}; \sqrt[9]{7^5}; \sqrt[5]{1000}$.

г)

$a^{1\frac{2}{3}} = a^{\frac{1 \cdot 3 + 2}{3}} = a^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{a^5}$
$c^{1,4} = c^{\frac{14}{10}} = c^{\frac{7}{5}} = \sqrt[5]{c^7}$
$x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}$
$x^{\frac{n}{2}} = \sqrt{x^n}$
$y^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{y^m}$
Ответ: $\sqrt[3]{a^5}; \sqrt[5]{c^7}; \sqrt[n]{x}; \sqrt{x^n}; \sqrt[n]{y^m}$.

374. a) $a^{-0.5}$, $b^{-\frac{2}{3}}$, $c^{-2.5}$;

б) $(a^2 - b)^{-\frac{1}{2}}$, $(1 - 2y)^{-\frac{2}{5}}$, $(x - a^2)^{-\frac{1}{n}}$, где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$.

а)

Для того чтобы представить выражения с отрицательным показателем в виде дроби, мы воспользуемся свойством степени $x^{-p} = \frac{1}{x^p}$, где $x \neq 0$. Если показатель является рациональным числом, то есть имеет вид $\frac{m}{n}$, то используется определение $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$.

Рассмотрим каждое выражение по отдельности:

Для $a^{-0,5}$:
1. Преобразуем десятичный показатель в обыкновенную дробь: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.
2. Выражение принимает вид $a^{-\frac{1}{2}}$.
3. Применяем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}$.
4. Представляем степень с дробным показателем в виде корня: $\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a}}$. Данное выражение определено при $a > 0$.

Для $b^{-\frac{2}{3}}$:
1. Применяем свойство степени с отрицательным показателем: $b^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{b^{\frac{2}{3}}}$.
2. Представляем степень с дробным показателем в виде корня: $\frac{1}{b^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}$. Данное выражение определено при $b \neq 0$.

Для $c^{-2,5}$:
1. Преобразуем десятичный показатель в обыкновенную дробь: $-2,5 = -\frac{25}{10} = -\frac{5}{2}$.
2. Выражение принимает вид $c^{-\frac{5}{2}}$.
3. Применяем свойство степени с отрицательным показателем: $c^{-\frac{5}{2}} = \frac{1}{c^{\frac{5}{2}}}$.
4. Представляем степень с дробным показателем в виде корня: $\frac{1}{c^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{c^5}}$. Данное выражение определено при $c > 0$.

Ответ: $a^{-0,5} = \frac{1}{\sqrt{a}}$; $b^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}$; $c^{-2,5} = \frac{1}{\sqrt{c^5}}$.

б)

В данном пункте применяются те же правила, что и в пункте а), но основанием степени является целое выражение в скобках.

Рассмотрим каждое выражение по отдельности:

Для $(a^2 - b)^{-\frac{1}{2}}$:
1. Применяем свойство степени с отрицательным показателем: $(a^2 - b)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{(a^2 - b)^{\frac{1}{2}}}$.
2. Представляем степень с дробным показателем в виде корня: $\frac{1}{(a^2 - b)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - b}}$. Данное выражение определено при $a^2 - b > 0$.

Для $(1 - 2y)^{-\frac{2}{5}}$:
1. Применяем свойство степени с отрицательным показателем: $(1 - 2y)^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{(1 - 2y)^{\frac{2}{5}}}$.
2. Представляем степень с дробным показателем в виде корня: $\frac{1}{(1 - 2y)^{\frac{2}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{(1 - 2y)^2}}$. Данное выражение определено при $1 - 2y \neq 0$, то есть $y \neq \frac{1}{2}$.

Для $(x - a^2)^{-\frac{1}{n}}$, где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$:
1. Применяем свойство степени с отрицательным показателем: $(x - a^2)^{-\frac{1}{n}} = \frac{1}{(x - a^2)^{\frac{1}{n}}}$.
2. Представляем степень с дробным показателем в виде корня: $\frac{1}{(x - a^2)^{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x - a^2}}$. Условия существования выражения зависят от четности $n$: если $n$ четное, то $x - a^2 > 0$; если $n$ нечетное, то $x - a^2 \neq 0$.

Ответ: $(a^2 - b)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - b}}$; $(1 - 2y)^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{(1 - 2y)^2}}$; $(x - a^2)^{-\frac{1}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x - a^2}}$.

Вычислите (375–376):

375. а) $25^{\frac{1}{2}}, 27^{\frac{1}{3}}, 16^{0,25}$;

б) $25^{\frac{3}{2}}, 27^{\frac{2}{3}}, 16^{1,25}$;

в) $25^{-1,5}, 27^{-\frac{2}{3}}, 16^{-0,75}$.

а) В данном пункте необходимо вычислить значения трех выражений.

1. Для выражения $25^{\frac{1}{2}}$:
Степень с показателем $\frac{1}{2}$ является эквивалентом извлечения квадратного корня. Также можно представить основание 25 как $5^2$ и использовать свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$25^{\frac{1}{2}} = (5^2)^{\frac{1}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 5^1 = 5$.

2. Для выражения $27^{\frac{1}{3}}$:
Степень с показателем $\frac{1}{3}$ является эквивалентом извлечения кубического корня. Представим основание 27 как $3^3$.
$27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^1 = 3$.

3. Для выражения $16^{0,25}$:
Сначала преобразуем десятичный показатель 0,25 в обыкновенную дробь: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$. Степень с показателем $\frac{1}{4}$ означает извлечение корня четвертой степени. Представим основание 16 как $2^4$.
$16^{0,25} = 16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 2^1 = 2$.

Ответ: 5, 3, 2.

б) В данном пункте необходимо вычислить значения трех выражений с дробными показателями.

1. Для выражения $25^{\frac{3}{2}}$:
Используем свойство $a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $25^{\frac{1}{2}} = 5$.
$25^{\frac{3}{2}} = (25^{\frac{1}{2}})^3 = 5^3 = 125$.
Альтернативный способ — представить 25 в виде $5^2$:
$25^{\frac{3}{2}} = (5^2)^{\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3 = 125$.

2. Для выражения $27^{\frac{2}{3}}$:
Аналогично, используя результат $27^{\frac{1}{3}} = 3$ из пункта а):
$27^{\frac{2}{3}} = (27^{\frac{1}{3}})^2 = 3^2 = 9$.
Альтернативный способ — представить 27 в виде $3^3$:
$27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$.

3. Для выражения $16^{1,25}$:
Преобразуем десятичный показатель $1,25$ в обыкновенную дробь: $1,25 = 1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. Используя результат $16^{\frac{1}{4}} = 2$ из пункта а):
$16^{1,25} = 16^{\frac{5}{4}} = (16^{\frac{1}{4}})^5 = 2^5 = 32$.
Альтернативный способ — представить 16 в виде $2^4$:
$16^{\frac{5}{4}} = (2^4)^{\frac{5}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{5}{4}} = 2^5 = 32$.

Ответ: 125, 9, 32.

в) В данном пункте необходимо вычислить значения выражений с отрицательными показателями, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

1. Для выражения $25^{-1,5}$:
Преобразуем показатель в обыкновенную дробь: $-1,5 = -\frac{3}{2}$.
$25^{-1,5} = 25^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{25^{\frac{3}{2}}}$.
Из пункта б) известно, что $25^{\frac{3}{2}} = 125$. Следовательно:
$25^{-1,5} = \frac{1}{125}$.

2. Для выражения $27^{-\frac{2}{3}}$:
$27^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{2}{3}}}$.
Из пункта б) известно, что $27^{\frac{2}{3}} = 9$. Следовательно:
$27^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{9}$.

3. Для выражения $16^{-0,75}$:
Преобразуем показатель в обыкновенную дробь: $-0,75 = -\frac{3}{4}$.
$16^{-0,75} = 16^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{3}{4}}}$.
Вычислим значение в знаменателе: $16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$.
Следовательно:
$16^{-0,75} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{125}, \frac{1}{9}, \frac{1}{8}$.

376. a) $(\frac{2}{7})^{-2} \cdot (\frac{49}{25})^{\frac{1}{2}};$

б) $(0,01)^{-\frac{1}{2}} \cdot (6,25)^{-0,5}.$

а) $(\frac{2}{7})^{-2} \cdot (\frac{49}{25})^{\frac{1}{2}}$

Для решения данного выражения необходимо поочередно вычислить значения каждого множителя, используя свойства степеней.
1. Вычислим первый множитель $(\frac{2}{7})^{-2}$.
Согласно свойству степени с отрицательным показателем $ (a/b)^{-n} = (b/a)^n $, мы можем перевернуть дробь, изменив знак показателя на противоположный:
$(\frac{2}{7})^{-2} = (\frac{7}{2})^{2}$
Теперь возведем дробь в квадрат:
$(\frac{7}{2})^{2} = \frac{7^2}{2^2} = \frac{49}{4}$

2. Вычислим второй множитель $(\frac{49}{25})^{\frac{1}{2}}$.
Дробная степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня:
$(\frac{49}{25})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}} = \frac{7}{5}$

3. Перемножим полученные результаты:
$\frac{49}{4} \cdot \frac{7}{5} = \frac{49 \cdot 7}{4 \cdot 5} = \frac{343}{20}$
Для удобства можно перевести обыкновенную дробь в десятичную:
$\frac{343}{20} = \frac{343 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{1715}{100} = 17,15$
Ответ: 17,15.

б) $(0,01)^{-\frac{1}{2}} \cdot (6,25)^{-0,5}$

Для решения этого выражения сначала преобразуем десятичные дроби и показатели степени в более удобный вид.
1. Представим десятичные дроби в виде обыкновенных:
$0,01 = \frac{1}{100}$
$6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{4}$
Также представим десятичный показатель степени в виде дроби:
$-0,5 = -\frac{1}{2}$

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:
$(\frac{1}{100})^{-\frac{1}{2}} \cdot (\frac{25}{4})^{-\frac{1}{2}}$
Поскольку оба множителя имеют одинаковый показатель степени, мы можем использовать свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ в обратном порядке:
$(\frac{1}{100} \cdot \frac{25}{4})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1 \cdot 25}{100 \cdot 4})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{25}{400})^{-\frac{1}{2}}$

3. Сократим дробь внутри скобок:
$\frac{25}{400} = \frac{1}{16}$
Теперь выражение имеет вид:
$(\frac{1}{16})^{-\frac{1}{2}}$

4. Применим свойства степени. Отрицательный показатель переворачивает дробь, а показатель $\frac{1}{2}$ означает квадратный корень:
$(\frac{1}{16})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{16}{1})^{\frac{1}{2}} = 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$
Ответ: 4.

377. Объясните, почему для любого числа $a \ge 0$ верно равенство:

а) $ (a^{\frac{1}{3}})^3 = a; $

б) $ (a^3)^{\frac{1}{3}} = a; $

в) $ (a^{\frac{1}{2}})^2 = a; $

г) $ (a^2)^{\frac{1}{2}} = a. $

Для объяснения всех равенств используется основное свойство степени: при возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются. Это свойство выражается формулой $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Условие $a \ge 0$ гарантирует, что все выражения, содержащие корни (степени с дробным показателем), определены в области действительных чисел.

а) $(a^{\frac{1}{3}})^3 = a$

Согласно свойству возведения степени в степень, мы можем перемножить показатели:

$(a^{\frac{1}{3}})^3 = a^{\frac{1}{3} \cdot 3} = a^1 = a$.

Также можно рассуждать, используя определение корня. Выражение $a^{\frac{1}{3}}$ по определению является кубическим корнем из $a$, то есть $\sqrt[3]{a}$. Возведение кубического корня из числа в третью степень по определению дает исходное подкоренное число. Таким образом, $(\sqrt[3]{a})^3 = a$.

Ответ: Равенство верно, так как по свойству степеней $(a^{\frac{1}{3}})^3 = a^{\frac{1}{3} \cdot 3} = a^1 = a$.

б) $(a^3)^{\frac{1}{3}} = a$

Применяя то же свойство степеней, перемножаем показатели:

$(a^3)^{\frac{1}{3}} = a^{3 \cdot \frac{1}{3}} = a^1 = a$.

Используя определение степени с рациональным показателем, можно записать $(a^3)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a^3}$. Поскольку по условию $a \ge 0$, то и $a^3 \ge 0$, и кубический корень из $a^3$ равен $a$.

Ответ: Равенство верно, так как по свойству степеней $(a^3)^{\frac{1}{3}} = a^{3 \cdot \frac{1}{3}} = a^1 = a$.

в) $(a^{\frac{1}{2}})^2 = a$

По свойству возведения степени в степень:

$(a^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$.

Здесь важно, что $a \ge 0$, так как выражение $a^{\frac{1}{2}}$ (арифметический квадратный корень $\sqrt{a}$) определено только для неотрицательных чисел. По определению, арифметический квадратный корень из числа $a$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Следовательно, $(\sqrt{a})^2 = a$.

Ответ: Равенство верно, так как по свойству степеней $(a^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$.

г) $(a^2)^{\frac{1}{2}} = a$

Используя свойство степеней, получаем:

$(a^2)^{\frac{1}{2}} = a^{2 \cdot \frac{1}{2}} = a^1 = a$.

В этом случае условие $a \ge 0$ является критически важным. Выражение $(a^2)^{\frac{1}{2}}$ можно записать как $\sqrt{a^2}$. Для любого действительного числа $x$ справедливо тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. Таким образом, $\sqrt{a^2} = |a|$.

Поскольку по условию задачи $a \ge 0$, модуль неотрицательного числа равен самому числу, то есть $|a| = a$.

Ответ: Равенство верно, так как для $a \ge 0$ выполняется $(a^2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a^2} = |a| = a$.

378. Исследуем. При каких значениях $a$ уравнение $(ax)^{1/3} = \sqrt[3]{a}$:

a) имеет единственный корень;

б) имеет бесконечное множество корней;

в) не имеет корней?

Рассмотрим данное уравнение: $(ax)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$.

По определению, корень нечетной степени (в данном случае, третьей) определён для любого действительного числа. Выражения $(ax)^{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt[3]{a}$ эквивалентны $\sqrt[3]{ax}$ и $\sqrt[3]{a}$ соответственно и определены для любых действительных $a$ и $x$.

Перепишем уравнение:

$\sqrt[3]{ax} = \sqrt[3]{a}$

Для решения возведем обе части уравнения в третью степень. Это преобразование является равносильным, так как функция $y = t^3$ является строго монотонной на всей числовой оси, что гарантирует сохранение множества корней.

$(\sqrt[3]{ax})^3 = (\sqrt[3]{a})^3$

$ax = a$

Теперь проанализируем полученное линейное уравнение с параметром $a$ для ответа на поставленные вопросы.

а) имеет единственный корень

Линейное уравнение вида $Ax=B$ имеет единственный корень тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ не равен нулю. В нашем случае уравнение имеет вид $ax=a$, и коэффициент при $x$ равен $a$.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень при $a \neq 0$. При выполнении этого условия мы можем найти этот корень, разделив обе части уравнения на $a$:

$x = \frac{a}{a} = 1$

Таким образом, при любом значении $a$, не равном нулю, уравнение имеет единственный корень $x=1$.

Ответ: при $a \neq 0$.

б) имеет бесконечное множество корней

Линейное уравнение $ax=a$ имеет бесконечное множество корней, если оно обращается в верное числовое равенство вида $0 \cdot x = 0$. Это происходит, когда и коэффициент при $x$, и свободный член равны нулю. В нашем уравнении это соответствует случаю, когда $a=0$.

Подставим $a=0$ в уравнение $ax=a$:

$0 \cdot x = 0$

Это равенство является верным для любого действительного значения $x$. Значит, при $a=0$ исходное уравнение имеет бесконечное множество корней.

Ответ: при $a=0$.

в) не имеет корней

Линейное уравнение $ax=a$ не имеет корней, если оно приводится к неверному равенству вида $0 \cdot x = C$, где $C \neq 0$. Это происходит, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а свободный член — отличен от нуля.

Для уравнения $ax=a$ это означало бы, что $a=0$ (коэффициент при $x$) и одновременно $a \neq 0$ (свободный член). Эти два условия противоречат друг другу.

Следовательно, не существует таких значений параметра $a$, при которых данное уравнение не имело бы корней.

Ответ: таких значений $a$ не существует.