Номер 377, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

377. Объясните, почему для любого числа $a \ge 0$ верно равенство:

а) $ (a^{\frac{1}{3}})^3 = a; $

б) $ (a^3)^{\frac{1}{3}} = a; $

в) $ (a^{\frac{1}{2}})^2 = a; $

г) $ (a^2)^{\frac{1}{2}} = a. $

Для объяснения всех равенств используется основное свойство степени: при возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются. Это свойство выражается формулой $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Условие $a \ge 0$ гарантирует, что все выражения, содержащие корни (степени с дробным показателем), определены в области действительных чисел.

а) $(a^{\frac{1}{3}})^3 = a$

Согласно свойству возведения степени в степень, мы можем перемножить показатели:

$(a^{\frac{1}{3}})^3 = a^{\frac{1}{3} \cdot 3} = a^1 = a$.

Также можно рассуждать, используя определение корня. Выражение $a^{\frac{1}{3}}$ по определению является кубическим корнем из $a$, то есть $\sqrt[3]{a}$. Возведение кубического корня из числа в третью степень по определению дает исходное подкоренное число. Таким образом, $(\sqrt[3]{a})^3 = a$.

Ответ: Равенство верно, так как по свойству степеней $(a^{\frac{1}{3}})^3 = a^{\frac{1}{3} \cdot 3} = a^1 = a$.

б) $(a^3)^{\frac{1}{3}} = a$

Применяя то же свойство степеней, перемножаем показатели:

$(a^3)^{\frac{1}{3}} = a^{3 \cdot \frac{1}{3}} = a^1 = a$.

Используя определение степени с рациональным показателем, можно записать $(a^3)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a^3}$. Поскольку по условию $a \ge 0$, то и $a^3 \ge 0$, и кубический корень из $a^3$ равен $a$.

Ответ: Равенство верно, так как по свойству степеней $(a^3)^{\frac{1}{3}} = a^{3 \cdot \frac{1}{3}} = a^1 = a$.

в) $(a^{\frac{1}{2}})^2 = a$

По свойству возведения степени в степень:

$(a^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$.

Здесь важно, что $a \ge 0$, так как выражение $a^{\frac{1}{2}}$ (арифметический квадратный корень $\sqrt{a}$) определено только для неотрицательных чисел. По определению, арифметический квадратный корень из числа $a$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Следовательно, $(\sqrt{a})^2 = a$.

Ответ: Равенство верно, так как по свойству степеней $(a^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$.

г) $(a^2)^{\frac{1}{2}} = a$

Используя свойство степеней, получаем:

$(a^2)^{\frac{1}{2}} = a^{2 \cdot \frac{1}{2}} = a^1 = a$.

В этом случае условие $a \ge 0$ является критически важным. Выражение $(a^2)^{\frac{1}{2}}$ можно записать как $\sqrt{a^2}$. Для любого действительного числа $x$ справедливо тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. Таким образом, $\sqrt{a^2} = |a|$.

Поскольку по условию задачи $a \ge 0$, модуль неотрицательного числа равен самому числу, то есть $|a| = a$.

Ответ: Равенство верно, так как для $a \ge 0$ выполняется $(a^2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a^2} = |a| = a$.