Номер 379, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

379. Может ли быть отрицательным числом степень с рациональным показателем положительного числа?

Рассмотрим степень с рациональным показателем $a^r$, где основание $a$ — положительное число ($a > 0$), а показатель $r$ — рациональное число.

Любое рациональное число $r$ можно представить в виде дроби $r = \frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$, $q \ge 1$). По определению, для $a>0$:

$a^r = a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$

Проанализируем значение этого выражения. Сначала рассмотрим выражение $a^p$. Так как основание $a$ положительно ($a > 0$), то его степень с любым целым показателем $p$ также будет положительной. Если $p$ — положительное число, то $a^p$ — это произведение положительных чисел, и результат положителен. Если $p=0$, то $a^0=1$, что положительно. Если $p$ — отрицательное число (например, $p=-k$ для $k>0$), то $a^p = a^{-k} = \frac{1}{a^k}$. Так как $a^k$ положительно, то и $\frac{1}{a^k}$ положительно. Следовательно, выражение $a^p$ всегда положительно.

Теперь рассмотрим всю конструкцию $\sqrt[q]{a^p}$. Мы извлекаем корень натуральной степени $q$ из положительного числа $a^p$. По определению, арифметический корень $q$-й степени из положительного числа — это всегда положительное число. Это такое положительное число $y$, что $y^q = a^p$.

Таким образом, результат возведения положительного числа в любую рациональную степень всегда является положительным числом. Он не может быть ни отрицательным, ни равным нулю.

Ответ: нет.