Номер 386, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

386. a) $a^{\frac{3}{5}} \cdot a;$

б) $a^{\frac{3}{8}} \cdot a^{\frac{3}{8}};$

в) $y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{1}{3}};$

г) $z^{\frac{2}{3}} \cdot z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{5}{6}}.$

а) $a^{\frac{3}{5}} \cdot a$

Для умножения степеней с одинаковым основанием используется свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание равно $a$. Показатель степени первого множителя равен $\frac{3}{5}$. Второй множитель $a$ можно представить как $a^1$.

Применяем свойство степеней, складывая показатели:

$a^{\frac{3}{5}} \cdot a^1 = a^{\frac{3}{5} + 1}$

Чтобы сложить дробь и целое число, представим целое число в виде дроби с таким же знаменателем:

$\frac{3}{5} + 1 = \frac{3}{5} + \frac{5}{5} = \frac{3+5}{5} = \frac{8}{5}$

Таким образом, выражение равно $a^{\frac{8}{5}}$.

Ответ: $a^{\frac{8}{5}}$.

б) $a^{\frac{3}{8}} \cdot a^{-\frac{3}{8}}$

Используем то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Складываем показатели степеней:

$a^{\frac{3}{8}} \cdot a^{-\frac{3}{8}} = a^{\frac{3}{8} + (-\frac{3}{8})} = a^{\frac{3}{8} - \frac{3}{8}} = a^0$

Любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице. Поэтому, при условии, что $a \neq 0$:

$a^0 = 1$

Ответ: $1$.

в) $y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{1}{3}}$

В этом выражении три множителя с одинаковым основанием $y$. Свойство умножения степеней распространяется и на три множителя: $a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$.

Складываем показатели степеней:

$y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3}}$

Чтобы сложить дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 2, 4 и 3 равен 12.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 6}{12} + \frac{1 \cdot 3}{12} + \frac{1 \cdot 4}{12} = \frac{6+3+4}{12} = \frac{13}{12}$

Следовательно, итоговое выражение равно $y^{\frac{13}{12}}$.

Ответ: $y^{\frac{13}{12}}$.

г) $z^{\frac{2}{3}} \cdot z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{5}{6}}$

Аналогично предыдущему примеру, складываем показатели степеней с основанием $z$:

$z^{\frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{5}{6}}$

Находим общий знаменатель для дробей $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$. Наименьший общий знаменатель для чисел 3, 4 и 6 равен 12.

Приводим дроби к общему знаменателю и складываем их:

$\frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12} + \frac{5 \cdot 2}{12} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{8+9+10}{12} = \frac{27}{12}$

Полученную дробь $\frac{27}{12}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:

$\frac{27 \div 3}{12 \div 3} = \frac{9}{4}$

Таким образом, результат равен $z^{\frac{9}{4}}$.

Ответ: $z^{\frac{9}{4}}$.