Номер 392, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

392. Вычислите:

a) $(9^{-\frac{1}{4}} + (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}) \cdot (\sqrt[4]{9^{-1}} - (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}});$

б) $((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} + \sqrt[4]{81^{-1}}) \cdot ((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} - 81^{-\frac{1}{4}}).$

а) $(9^{-\frac{1}{4}} + (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}) \cdot (\sqrt[4]{9^{-1}} - (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}})$
Данное выражение представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Заметим, что $\sqrt[4]{9^{-1}} = (9^{-1})^{\frac{1}{4}} = 9^{-\frac{1}{4}}$.
Следовательно, выражение можно упростить, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = 9^{-\frac{1}{4}}$ и $b = (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}$.
Применив формулу, получаем:
$(9^{-\frac{1}{4}})^2 - ((2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}})^2 = 9^{-\frac{1}{4} \cdot 2} - (2\sqrt{2})^{-\frac{2}{3} \cdot 2} = 9^{-\frac{1}{2}} - (2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}}$
Теперь вычислим значение каждого члена:
$9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.
Для второго члена сначала упростим основание $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$.
Тогда $(2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}} = (2^{\frac{3}{2}})^{-\frac{4}{3}} = 2^{\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Подставим полученные значения в выражение:
$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

б) $((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} + \sqrt[4]{81^{-1}}) \cdot ((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} - 81^{-\frac{1}{4}})$
Это выражение также является произведением суммы и разности. Проверим, равны ли вторые слагаемые в скобках: $\sqrt[4]{81^{-1}} = (81^{-1})^{\frac{1}{4}} = 81^{-\frac{1}{4}}$.
Так как они равны, мы можем применить формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = (5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}}$ и $b = 81^{-\frac{1}{4}}$.
Получаем:
$((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}})^2 - (81^{-\frac{1}{4}})^2 = (5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3} \cdot 2} - 81^{-\frac{1}{4} \cdot 2} = (5\sqrt{5})^{-\frac{4}{3}} - 81^{-\frac{1}{2}}$
Вычислим значение каждого члена:
Для первого члена упростим основание $5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$.
Тогда $(5\sqrt{5})^{-\frac{4}{3}} = (5^{\frac{3}{2}})^{-\frac{4}{3}} = 5^{\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Второй член: $81^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{81^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{81}} = \frac{1}{9}$.
Теперь найдем разность:
$\frac{1}{25} - \frac{1}{9} = \frac{9-25}{225} = -\frac{16}{225}$.
Ответ: $-\frac{16}{225}$.