Номер 391, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

391. а) $(ab^{\frac{1}{2}})^{-2}$;

б) $(x^{\frac{1}{3}}y)^{-1}$;

в) $(3a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}$;

г) $(2x^{\frac{4}{5}}y^{\frac{1}{6}})^{\frac{3}{4}}$.

а) Чтобы упростить выражение $(ab^{\frac{1}{2}})^{-2}$, мы используем свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$. Применим эти правила к каждому множителю в скобках:

$(ab^{\frac{1}{2}})^{-2} = (a^1)^{-2} \cdot (b^{\frac{1}{2}})^{-2} = a^{1 \cdot (-2)} \cdot b^{\frac{1}{2} \cdot (-2)} = a^{-2}b^{-1}$.

Далее, используя определение степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, преобразуем выражение:

$a^{-2}b^{-1} = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{1}{a^2b}$.

Ответ: $\frac{1}{a^2b}$.

б) Упростим выражение $(x^{\frac{1}{3}}y)^{-1}$. Применим свойство возведения произведения в степень:

$(x^{\frac{1}{3}}y)^{-1} = (x^{\frac{1}{3}})^{-1} \cdot y^{-1}$.

Теперь используем свойство возведения степени в степень:

$(x^{\frac{1}{3}})^{-1} \cdot y^{-1} = x^{\frac{1}{3} \cdot (-1)} \cdot y^{-1} = x^{-\frac{1}{3}}y^{-1}$.

Перепишем выражение, используя положительные показатели степеней:

$x^{-\frac{1}{3}}y^{-1} = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}y}$.

Ответ: $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}y}$.

в) Рассмотрим выражение $(3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}$. Возведем каждый множитель в скобках в степень $\frac{1}{2}$:

$(3a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}} \cdot (a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} \cdot (b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}$.

Перемножим показатели степеней для каждого основания:

$3^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{2}{6}}$.

Сократим дробь в показателе степени у $b$:

$b^{\frac{2}{6}} = b^{\frac{1}{3}}$.

Итоговое выражение:

$3^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $3^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{1}{3}}$.

г) Упростим выражение $(2x^{\frac{4}{5}}y^{\frac{1}{6}})^{\frac{3}{4}}$. Возведем каждый множитель в скобках в степень $\frac{3}{4}$:

$(2x^{\frac{4}{5}}y^{\frac{1}{6}})^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} \cdot (x^{\frac{4}{5}})^{\frac{3}{4}} \cdot (y^{\frac{1}{6}})^{\frac{3}{4}}$.

Перемножим показатели степеней для каждого основания:

$2^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} x^{\frac{12}{20}} y^{\frac{3}{24}}$.

Сократим дроби в показателях степеней:

$x^{\frac{12}{20}} = x^{\frac{3}{5}}$

$y^{\frac{3}{24}} = y^{\frac{1}{8}}$

Таким образом, получаем:

$2^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{5}} y^{\frac{1}{8}}$.

Ответ: $2^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{5}} y^{\frac{1}{8}}$.