Номер 388, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

388. а) $a^{-\frac{1}{2}} : \sqrt{a}$;

б) $z^{\frac{2}{3}} : \sqrt[5]{z^2}$;

в) $\sqrt[4]{m} : m^{-\frac{1}{2}};$

г) $\sqrt[3]{a} : a^{-\frac{1}{6}}.$

а) $a^{\frac{1}{2}} : \sqrt{a}$

Для решения данного примера необходимо представить все члены в виде степеней с одинаковым основанием. Корень из $a$ можно записать как степень с дробным показателем: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$.

Тогда исходное выражение примет вид: $a^{\frac{1}{2}} : a^{\frac{1}{2}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются по правилу $x^m : x^n = x^{m-n}$.

$a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = a^0$.

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

Ответ: 1

б) $z^{\frac{2}{3}} : \sqrt[5]{z^2}$

Представим корень пятой степени в виде степени с дробным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[5]{z^2} = z^{\frac{2}{5}}$.

Теперь выражение выглядит так: $z^{\frac{2}{3}} : z^{\frac{2}{5}}$.

Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием, вычитая показатели: $z^{\frac{2}{3} - \frac{2}{5}}$.

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю 15:

$\frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5}{15} - \frac{2 \cdot 3}{15} = \frac{10 - 6}{15} = \frac{4}{15}$.

Таким образом, результат: $z^{\frac{4}{15}}$.

Ответ: $z^{\frac{4}{15}}$

в) $\sqrt[4]{m} : m^{-\frac{1}{2}}$

Сначала представим корень четвертой степени в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[4]{m} = m^{\frac{1}{4}}$.

Исходное выражение преобразуется в: $m^{\frac{1}{4}} : m^{-\frac{1}{2}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $m^{\frac{1}{4} - (-\frac{1}{2})}$.

Вычитание отрицательного числа равносильно сложению: $m^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 4:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$.

В результате получаем: $m^{\frac{3}{4}}$.

Ответ: $m^{\frac{3}{4}}$

г) $\sqrt[3]{a} : a^{-\frac{1}{6}}$

Представим кубический корень как степень с дробным показателем: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$.

Выражение принимает вид: $a^{\frac{1}{3}} : a^{-\frac{1}{6}}$.

Используем правило деления степеней, вычитая показатели: $a^{\frac{1}{3} - (-\frac{1}{6})}$.

Упростим выражение в показателе степени: $a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6}$.

Сократим дробь в показателе: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Окончательный результат: $a^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}}$