Номер 387, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

387. а) $125^{1,5} \cdot 25^{-\frac{3}{4}}$;

б) $2^{1,25} \cdot 16^{\frac{1}{16}}$;

в) $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{x}$;

г) $\sqrt[3]{x} \cdot x^{\frac{1}{4}}$.

¹Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выражения имеют смысл.

а) Для вычисления значения выражения $125^{1,5} \cdot 25^{-\frac{3}{4}}$ приведем оба основания к степени числа 5. Известно, что $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$. Подставив эти значения в исходное выражение, получим: $(5^3)^{1,5} \cdot (5^2)^{-\frac{3}{4}}$. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и перемножим показатели: $5^{3 \cdot 1,5} \cdot 5^{2 \cdot (-\frac{3}{4})} = 5^{4,5} \cdot 5^{-\frac{3}{2}}$. Представим десятичную дробь 4,5 в виде обыкновенной дроби $\frac{9}{2}$. Теперь выражение выглядит как $5^{\frac{9}{2}} \cdot 5^{-\frac{3}{2}}$. Далее, по свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели: $5^{\frac{9}{2} - \frac{3}{2}} = 5^{\frac{6}{2}} = 5^3$. Вычисляя результат, получаем $5^3 = 125$. Ответ: 125

б) Для упрощения выражения $2^{1,25} \cdot 16^{\frac{1}{16}}$ приведем оба основания к степени числа 2. Поскольку $16 = 2^4$, выражение можно переписать как $2^{1,25} \cdot (2^4)^{\frac{1}{16}}$. По свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $2^{1,25} \cdot 2^{4 \cdot \frac{1}{16}} = 2^{1,25} \cdot 2^{\frac{4}{16}} = 2^{1,25} \cdot 2^{\frac{1}{4}}$. Преобразуем показатель 1,25 в обыкновенную дробь: $1,25 = \frac{5}{4}$. Тогда выражение примет вид $2^{\frac{5}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{4}}$. По свойству умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели: $2^{\frac{5}{4} + \frac{1}{4}} = 2^{\frac{6}{4}} = 2^{\frac{3}{2}}$. Это значение можно также представить в виде корня: $2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Ответ: $2^{\frac{3}{2}}$

в) Для упрощения выражения $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{x}$ представим квадратный корень в виде степени с дробным показателем. По определению, $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. Подставив это в выражение, получаем $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}$. Используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели степеней: $x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{2}} = x^1 = x$. Ответ: $x$

г) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{x} \cdot x^{\frac{1}{4}}$. Для его упрощения представим кубический корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$. Теперь исходное выражение можно записать как $x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{4}}$. Применяя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим их показатели: $x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}$. Для сложения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$ приведем их к общему знаменателю 12: $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$. Таким образом, окончательное выражение равно $x^{\frac{7}{12}}$. Ответ: $x^{\frac{7}{12}}$