Номер 393, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (393–394):

393. а) $x^{1/2}y^{1/2}(x^{1/2} - y^{1/2});$

б) $(a^{1/2} - 1)(a^{1/2} + 1);$

в) $(x^{1/2} - y^{1/2})(x^{1/2} + y^{1/2});$

г) $(m^{1/2} + 3)(m^{1/2} - 3).$

а) Чтобы упростить выражение $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$, мы используем распределительный закон умножения. Умножим множитель $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$ на каждый член в скобках:

$x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Для первого члена: $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}) \cdot y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} = x^1 \cdot y^{\frac{1}{2}} = xy^{\frac{1}{2}}$.

Для второго члена: $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} \cdot (y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}) = x^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} \cdot y^1 = x^{\frac{1}{2}}y$.

Соединив упрощенные члены, получаем итоговое выражение:

$xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y$

Ответ: $xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y$

б) Выражение $(a^{\frac{1}{2}} - 1)(a^{\frac{1}{2}} + 1)$ является произведением разности и суммы двух выражений. Для его упрощения используем формулу сокращенного умножения, известную как разность квадратов: $(p - q)(p + q) = p^2 - q^2$.

В нашем случае $p = a^{\frac{1}{2}}$ и $q = 1$.

Возведем в квадрат каждый член, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$p^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$

$q^2 = 1^2 = 1$

Применяя формулу, получаем:

$a - 1$

Ответ: $a - 1$

в) Выражение $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$ также представляет собой произведение разности и суммы. Используем ту же формулу разности квадратов: $(p - q)(p + q) = p^2 - q^2$.

Здесь $p = x^{\frac{1}{2}}$ и $q = y^{\frac{1}{2}}$.

Возводим в квадрат каждый член:

$p^2 = (x^{\frac{1}{2}})^2 = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^1 = x$

$q^2 = (y^{\frac{1}{2}})^2 = y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^1 = y$

Результат упрощения:

$x - y$

Ответ: $x - y$

г) Выражение $(m^{\frac{1}{2}} + 3)(m^{\frac{1}{2}} - 3)$ является произведением суммы и разности. Снова применяем формулу разности квадратов: $(p + q)(p - q) = p^2 - q^2$.

Здесь $p = m^{\frac{1}{2}}$ и $q = 3$.

Возводим в квадрат каждый член:

$p^2 = (m^{\frac{1}{2}})^2 = m^{\frac{1}{2} \cdot 2} = m^1 = m$

$q^2 = 3^2 = 9$

Подставляем в формулу и получаем:

$m - 9$

Ответ: $m - 9$