Номер 394, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

394. а) $(2x^{1/2} - y^{1/3})(y^{1/3} + 2x^{1/2});$

б) $(3m^{1/4} - n^{1/4})(n^{1/4} + 3m^{1/4});$

в) $(x^{1/6} - 5)(x^{1/6} + 5);$

г) $(3^{1/5} - x^{2/3})(3^{1/5} + x^{2/3}).$

а)

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой сокращённого умножения — разностью квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Исходное выражение: $(2x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{3}})(y^{\frac{1}{3}} + 2x^{\frac{1}{2}})$.
Переставим слагаемые во второй скобке, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы: $(y^{\frac{1}{3}} + 2x^{\frac{1}{2}}) = (2x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}})$.
Теперь выражение выглядит так: $(2x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{3}})(2x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}})$.
В данном случае $a = 2x^{\frac{1}{2}}$ и $b = y^{\frac{1}{3}}$.
Применяем формулу разности квадратов:
$a^2 - b^2 = (2x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{3}})^2 = 2^2 \cdot (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{3}})^2 = 4 \cdot x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y^{\frac{1}{3} \cdot 2} = 4x^1 - y^{\frac{2}{3}} = 4x - y^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $4x - y^{\frac{2}{3}}$.

б)

Это выражение также упрощается с помощью формулы разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Исходное выражение: $(3m^{\frac{1}{4}} - n^{\frac{1}{4}})(n^{\frac{1}{4}} + 3m^{\frac{1}{4}})$.
Приведем вторую скобку к виду $(a+b)$: $(n^{\frac{1}{4}} + 3m^{\frac{1}{4}}) = (3m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{4}})$.
Выражение принимает вид: $(3m^{\frac{1}{4}} - n^{\frac{1}{4}})(3m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{4}})$.
Здесь $a = 3m^{\frac{1}{4}}$ и $b = n^{\frac{1}{4}}$.
Применяем формулу:
$a^2 - b^2 = (3m^{\frac{1}{4}})^2 - (n^{\frac{1}{4}})^2 = 3^2 \cdot (m^{\frac{1}{4}})^2 - (n^{\frac{1}{4}})^2 = 9 \cdot m^{\frac{1}{4} \cdot 2} - n^{\frac{1}{4} \cdot 2} = 9m^{\frac{2}{4}} - n^{\frac{2}{4}} = 9m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $9m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}$.

в)

Используем формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Исходное выражение: $(x^{\frac{1}{6}} - 5)(x^{\frac{1}{6}} + 5)$.
Выражение уже представлено в нужном виде.
Здесь $a = x^{\frac{1}{6}}$ и $b = 5$.
Применяем формулу:
$a^2 - b^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2 - 5^2 = x^{\frac{1}{6} \cdot 2} - 25 = x^{\frac{2}{6}} - 25 = x^{\frac{1}{3}} - 25$.
Ответ: $x^{\frac{1}{3}} - 25$.

г)

Снова применяем формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Исходное выражение: $(3^{\frac{1}{5}} - x^{\frac{2}{3}})(3^{\frac{1}{5}} + x^{\frac{2}{3}})$.
Выражение уже представлено в нужном виде.
Здесь $a = 3^{\frac{1}{5}}$ и $b = x^{\frac{2}{3}}$.
Применяем формулу:
$a^2 - b^2 = (3^{\frac{1}{5}})^2 - (x^{\frac{2}{3}})^2 = 3^{\frac{1}{5} \cdot 2} - x^{\frac{2}{3} \cdot 2} = 3^{\frac{2}{5}} - x^{\frac{4}{3}}$.
Ответ: $3^{\frac{2}{5}} - x^{\frac{4}{3}}$.