Номер 397, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Представьте в виде суммы (397–399):

397. а) $(a^{\frac{1}{2}}+\sqrt{b})^2$;

б) $(x^{\frac{1}{3}}-y)^2$;

в) $(m^{\frac{1}{3}}-n^{\frac{1}{2}})^2$;

г) $(c^{\frac{1}{6}}-d^{\frac{1}{2}})^2$.

а) Для того чтобы представить выражение $(a^{\frac{1}{2}} + \sqrt{b})^2$ в виде суммы, воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Заметим, что $\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$. Тогда:
$(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} + (b^{\frac{1}{2}})^2$.
Применяя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$, получаем:
$a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b$.
Ответ: $a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b$.

б) Чтобы представить выражение $(x^{\frac{1}{3}} - y)^2$ в виде суммы, применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В этом случае $a = x^{\frac{1}{3}}$ и $b = y$.
$(x^{\frac{1}{3}} - y)^2 = (x^{\frac{1}{3}})^2 - 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot y + y^2$.
Упростим первый член, используя свойство $(x^m)^n = x^{mn}$:
$x^{\frac{1}{3} \cdot 2} - 2x^{\frac{1}{3}}y + y^2 = x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y + y^2$.
Ответ: $x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y + y^2$.

в) Чтобы представить выражение $(m^{\frac{1}{3}} - n^{\frac{1}{2}})^2$ в виде суммы, используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a = m^{\frac{1}{3}}$ и $b = n^{\frac{1}{2}}$.
$(m^{\frac{1}{3}} - n^{\frac{1}{2}})^2 = (m^{\frac{1}{3}})^2 - 2 \cdot m^{\frac{1}{3}} \cdot n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2$.
Упростим первый и последний члены по свойству $(x^m)^n = x^{mn}$:
$m^{\frac{1}{3} \cdot 2} - 2m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2} \cdot 2} = m^{\frac{2}{3}} - 2m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{2}} + n$.
Ответ: $m^{\frac{2}{3}} - 2m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{2}} + n$.

г) Чтобы представить выражение $(c^{\frac{1}{6}} - d^{\frac{1}{2}})^2$ в виде суммы, применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = c^{\frac{1}{6}}$ и $b = d^{\frac{1}{2}}$.
$(c^{\frac{1}{6}} - d^{\frac{1}{2}})^2 = (c^{\frac{1}{6}})^2 - 2 \cdot c^{\frac{1}{6}} \cdot d^{\frac{1}{2}} + (d^{\frac{1}{2}})^2$.
Упростим крайние члены, используя свойство $(x^m)^n = x^{mn}$:
$c^{\frac{1}{6} \cdot 2} - 2c^{\frac{1}{6}}d^{\frac{1}{2}} + d^{\frac{1}{2} \cdot 2} = c^{\frac{2}{6}} - 2c^{\frac{1}{6}}d^{\frac{1}{2}} + d = c^{\frac{1}{3}} - 2c^{\frac{1}{6}}d^{\frac{1}{2}} + d$.
Ответ: $c^{\frac{1}{3}} - 2c^{\frac{1}{6}}d^{\frac{1}{2}} + d$.