Номер 404, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Сравните числа (404—406):

404. а) $15^{\frac{1}{4}}$ и $3,9^{\frac{1}{2}}$;

б) $2 \cdot 3^{\frac{1}{3}}$ и $3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$;

в) $3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}$ и $4 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$;

г) $\left(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}$ и $\left(3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}$.

а) Чтобы сравнить числа $15^{\frac{1}{4}}$ и $3,9^{\frac{1}{2}}$, возведем оба числа в 4-ю степень. Это преобразование является равносильным, поскольку оба числа положительны, а функция $y=x^4$ возрастает для положительных $x$.

$(15^{\frac{1}{4}})^4 = 15^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 15^1 = 15$.

$(3,9^{\frac{1}{2}})^4 = 3,9^{\frac{1}{2} \cdot 4} = 3,9^2 = 15,21$.

Так как $15 < 15,21$, то и исходное первое число меньше второго.

Ответ: $15^{\frac{1}{4}} < 3,9^{\frac{1}{2}}$.

б) Для сравнения чисел $2 \cdot 3^{\frac{1}{3}}$ и $3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$ возведем оба выражения в 3-ю степень. Это возможно, так как оба числа положительны, а функция $y=x^3$ является возрастающей на всей числовой оси.

$(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}})^3 = 2^3 \cdot (3^{\frac{1}{3}})^3 = 8 \cdot 3 = 24$.

$(3 \cdot 2^{\frac{1}{3}})^3 = 3^3 \cdot (2^{\frac{1}{3}})^3 = 27 \cdot 2 = 54$.

Поскольку $24 < 54$, то и $2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} < 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} < 3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$.

в) Сравним числа $3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}$ и $4 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$. Оба числа положительны, поэтому их можно сравнить, возведя в 3-ю степень. Знак неравенства при этом не изменится.

$(3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})^3 = 3^3 \cdot (4^{\frac{1}{3}})^3 = 27 \cdot 4 = 108$.

$(4 \cdot 2^{\frac{1}{3}})^3 = 4^3 \cdot (2^{\frac{1}{3}})^3 = 64 \cdot 2 = 128$.

Так как $108 < 128$, то и $3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} < 4 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} < 4 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$.

г) Требуется сравнить числа $(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})^{\frac{3}{2}}$ и $(3 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{\frac{3}{2}}$.

Функция $y=x^{\frac{3}{2}}$ является возрастающей для $x > 0$. Следовательно, знак неравенства для исходных чисел будет таким же, как и для их оснований. Сравним основания: $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ и $3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$.

Так как оба основания положительны, мы можем сравнить их квадраты:

$(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})^2 = 2^2 \cdot (3^{\frac{1}{2}})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

$(3 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^2 = 3^2 \cdot (2^{\frac{1}{2}})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

Поскольку $12 < 18$, то $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} < 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$. В силу монотонного возрастания функции $y=x^{\frac{3}{2}}$, исходное неравенство имеет тот же знак.

Ответ: $(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})^{\frac{3}{2}} < (3 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{\frac{3}{2}}$.