Номер 406, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

406. a) $(\frac{2}{5})^{\frac{5}{8}}$ И $(\frac{2}{5})^{\frac{3}{4}}$;

б) $\frac{\sqrt[8]{2^5}}{\sqrt[6]{2}}$ И $\frac{\sqrt[4]{2^7}}{\sqrt[3]{2^4}}$;

в) $\frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^3}}$ И $\frac{\sqrt[14]{3^2}}{\sqrt[9]{3^2}}$;

г) $(\frac{1}{5})^{\frac{1}{6}}$ И $(\frac{1}{6})^{\frac{1}{5}}$.

а) Сравним два числа: $(\frac{2}{5})^{\frac{5}{8}}$ и $(\frac{2}{5})^{\frac{3}{4}}$.
Основание степени $a = \frac{2}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Степенная функция $y=a^x$ с таким основанием является убывающей. Это означает, что для показателей $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$.
Сравним показатели степеней: $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{4}$. Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю 8.
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$.
Так как $\frac{5}{8} < \frac{6}{8}$, то, согласно свойству убывающей степенной функции, неравенство для самих чисел будет иметь противоположный знак.
Следовательно, $(\frac{2}{5})^{\frac{5}{8}} > (\frac{2}{5})^{\frac{6}{8}}$, что означает $(\frac{2}{5})^{\frac{5}{8}} > (\frac{2}{5})^{\frac{3}{4}}$.

Ответ: $(\frac{2}{5})^{\frac{5}{8}} > (\frac{2}{5})^{\frac{3}{4}}$.

б) Сравним выражения $\frac{\sqrt[8]{2^5}}{\sqrt[6]{2}}$ и $\frac{\sqrt[4]{2^7}}{\sqrt[3]{2^4}}$.
Сначала упростим каждое выражение, представив корни в виде степеней с рациональными показателями и применив свойство частного степеней с одинаковым основанием ($a^m/a^n = a^{m-n}$).
Первое выражение: $\frac{\sqrt[8]{2^5}}{\sqrt[6]{2}} = \frac{2^{\frac{5}{8}}}{2^{\frac{1}{6}}} = 2^{\frac{5}{8} - \frac{1}{6}} = 2^{\frac{15-4}{24}} = 2^{\frac{11}{24}}$.
Второе выражение: $\frac{\sqrt[4]{2^7}}{\sqrt[3]{2^4}} = \frac{2^{\frac{7}{4}}}{2^{\frac{4}{3}}} = 2^{\frac{7}{4} - \frac{4}{3}} = 2^{\frac{21-16}{12}} = 2^{\frac{5}{12}}$.
Теперь необходимо сравнить $2^{\frac{11}{24}}$ и $2^{\frac{5}{12}}$. Основание степени $a = 2$ больше 1, поэтому степенная функция $y=a^x$ является возрастающей. Большему показателю соответствует большее значение степени.
Сравним показатели $\frac{11}{24}$ и $\frac{5}{12}$. Приведем дроби к общему знаменателю 24: $\frac{5}{12} = \frac{10}{24}$.
Так как $\frac{11}{24} > \frac{10}{24}$, то и $2^{\frac{11}{24}} > 2^{\frac{10}{24}}$, а значит $2^{\frac{11}{24}} > 2^{\frac{5}{12}}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[8]{2^5}}{\sqrt[6]{2}} > \frac{\sqrt[4]{2^7}}{\sqrt[3]{2^4}}$.

в) Сравним выражения $\frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^3}}$ и $\frac{\sqrt[14]{3^2}}{\sqrt[9]{3^2}}$.
Упростим каждое выражение, перейдя к степеням с рациональными показателями.
Первое выражение: $\frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^3}} = \frac{3^{\frac{10}{15}}}{3^{\frac{3}{10}}} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{3}{10}}} = 3^{\frac{2}{3} - \frac{3}{10}} = 3^{\frac{20-9}{30}} = 3^{\frac{11}{30}}$.
Второе выражение: $\frac{\sqrt[14]{3^2}}{\sqrt[9]{3^2}} = \frac{3^{\frac{2}{14}}}{3^{\frac{2}{9}}} = \frac{3^{\frac{1}{7}}}{3^{\frac{2}{9}}} = 3^{\frac{1}{7} - \frac{2}{9}} = 3^{\frac{9-14}{63}} = 3^{-\frac{5}{63}}$.
Теперь сравним полученные результаты: $3^{\frac{11}{30}}$ и $3^{-\frac{5}{63}}$.
Основание степени $a=3$ больше 1, значит, функция возрастающая. Сравним показатели: $\frac{11}{30}$ и $-\frac{5}{63}$.
Так как $\frac{11}{30}$ — положительное число, а $-\frac{5}{63}$ — отрицательное, очевидно, что $\frac{11}{30} > -\frac{5}{63}$.
Поскольку функция возрастающая, то $3^{\frac{11}{30}} > 3^{-\frac{5}{63}}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^3}} > \frac{\sqrt[14]{3^2}}{\sqrt[9]{3^2}}$.

г) Сравним числа $(\frac{1}{5})^{\frac{1}{6}}$ и $(\frac{1}{6})^{\frac{1}{5}}$.
Оба числа положительны. Чтобы их сравнить, можно возвести оба числа в одну и ту же положительную степень. Выберем в качестве такой степени наименьшее общее кратное знаменателей показателей 6 и 5, то есть 30. При возведении в положительную степень знак неравенства не изменится.
Возведем первое число в степень 30:
$((\frac{1}{5})^{\frac{1}{6}})^{30} = (\frac{1}{5})^{\frac{30}{6}} = (\frac{1}{5})^5 = \frac{1}{5^5} = \frac{1}{3125}$.
Возведем второе число в степень 30:
$((\frac{1}{6})^{\frac{1}{5}})^{30} = (\frac{1}{6})^{\frac{30}{5}} = (\frac{1}{6})^6 = \frac{1}{6^6} = \frac{1}{46656}$.
Теперь сравним полученные дроби: $\frac{1}{3125}$ и $\frac{1}{46656}$.
Из двух дробей с одинаковыми числителями (равными 1) больше та, у которой знаменатель меньше.
Так как $3125 < 46656$, то $\frac{1}{3125} > \frac{1}{46656}$.
Следовательно, и исходные числа находятся в том же соотношении.

Ответ: $(\frac{1}{5})^{\frac{1}{6}} > (\frac{1}{6})^{\frac{1}{5}}$.