Номер 411, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

411. Найдите сумму первых шести членов последовательности, заданной формулой общего члена:

а) $a_n = 3n + 2;$

б) $a_n = (-1)^n \cdot n.$

а) Для того чтобы найти сумму первых шести членов последовательности, заданной формулой $a_n = 3n + 2$, необходимо вычислить значения членов с первого по шестой и сложить их.
Вычислим первые шесть членов последовательности:
$a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$
$a_2 = 3 \cdot 2 + 2 = 8$
$a_3 = 3 \cdot 3 + 2 = 11$
$a_4 = 3 \cdot 4 + 2 = 14$
$a_5 = 3 \cdot 5 + 2 = 17$
$a_6 = 3 \cdot 6 + 2 = 20$
Теперь найдем их сумму $S_6$:
$S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 = 75$.
Заметим, что данная последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $a_1=5$ и разностью $d=3$. Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
В нашем случае $n=6$, $a_1=5$, $a_6=20$.
$S_6 = \frac{5 + 20}{2} \cdot 6 = \frac{25}{2} \cdot 6 = 25 \cdot 3 = 75$.
Ответ: 75.

б) Для того чтобы найти сумму первых шести членов последовательности, заданной формулой $a_n = (-1)^n \cdot n$, необходимо вычислить значения членов с первого по шестой и сложить их.
Вычислим первые шесть членов последовательности:
$a_1 = (-1)^1 \cdot 1 = -1$
$a_2 = (-1)^2 \cdot 2 = 2$
$a_3 = (-1)^3 \cdot 3 = -3$
$a_4 = (-1)^4 \cdot 4 = 4$
$a_5 = (-1)^5 \cdot 5 = -5$
$a_6 = (-1)^6 \cdot 6 = 6$
Теперь найдем их сумму $S_6$:
$S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6$
Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:
$S_6 = (-1 + 2) + (-3 + 4) + (-5 + 6) = 1 + 1 + 1 = 3$.
Ответ: 3.